15 - Um homem começa a andar para o norte a 1,2 m / s a partir de um ponto P . Cinco minutos depois uma mulher começa a andar para o sul a 1,6 m / s de um ponto 200 m ao leste de P . A que taxa as pessoas estão se distanciando 15   m i n u t o s após a mulher começar a andar?

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema temos um homem que está andando para o norte a 1,2 m / s partindo de um ponto P . Cinco minutos depois uma mulher localizada a 200 m a leste de P começa a andar para o sul a 1,6 m / s .

Com isso, queremos saber qual é a taxa de distanciamento 15   m i n u t o s depois que a mulher começou a andar.

Parece complicado, não é? 🤔

Passo 2

Primeiro vamos entender o movimento do sistema, pelas informações dada no problema, temos

Onde a linha vermelha é o movimento do homem e a verde é o movimento da mulher.

Podemos dizer que o vetor deslocamento do homem é dado por

H → t = 1,2 t , 0

Dado que P é a origem do sistema.

Já o vetor deslocamento da mulher é dado por

M → t = - 1 , 6 t - 5 , 20 0

Dessa forma, podemos definir o vetor distanciamento entre eles como D →

D → = H → t - M → t

Ou em seu modulo como

D = H → t - M → t

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Substituindo os vetores em D , temos

D = 1,2 t , 0 - - 1,6 t - 5 , 200

D = 1,2 t + 1,6 t - 5 , - 200

D = 1,2 t + 1,6 t - 8 , - 200

D = 2,8 t - 8 , - 200

Calculando o modulo desse vetor...

D = 2,8 t - 8 2 + - 200 2

D = 7,84 t 2 - 44,8 t + 40064

Derivando essa equação com relação a t , podemos encontrar a taxa de variação da distância D em relação ao tempo

d D d t = d 7,84 t 2 - 44,8 t + 40064 d t

Aplicando a regra da cadeia (a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora) ...

d D d t = d 7,84 t 2 - 44,8 t + 40064 d t d u d u

d D d t = 15,68 t - 44,8 · 1 2 u

Voltando u para 7,84 t 2 - 44,8 t + 40064 e simplificando

d D d t = 15,68 t - 44,8 2 7,84 t 2 - 44,8 t + 40064

Assim vamos descobrir que em t 15   m i n u t o s depois que a mulher saiu, ou seja, t = 5   m i n + 15   m i n · 60 s = 1200 s , temos

d D d t = 15,68 1200 - 44,8 2 7,84 1200 2 - 44,8 1200 + 40064

d D d t = 2,8 m / s

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

d D d t = 2,8 m / s

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