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Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

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Enunciado

UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - IM/UFRJ - Lista 5 - P3, Questão 14a

O número M de matrículas de um certo colégio vem crescendo a uma taxa de

d M d t   =   1000 2 t   +   1 - 1 2

estudantes por ano desde 2015. Se a matrícula em 2019 foi de 10.000 estudantes, responda:

(a) Qual teria sido a matrícula em 2015?

(b) Quantos estudantes são esperados em 2027 se o crescimento continuar na mesma taxa?

Passo 1

Vamos calcular o valor exato das respostas usando os cálculos de integração. Dada a taxa de crescimento:

d M d t   =   1000 2 t   +   1 - 1 2

Vamos resolver cada parte separadamente:

Qual teria sido a matrícula em 2015?

Integrando a taxa de crescimento desde 2015 até 2019 para encontrar a matrícula em 2015:

M 2019 = 10000

Integrando a taxa de crescimento desde 2015 até 2019:

∫ 2015 2019 d M = ∫ 2015 2019 1000 2 t + 1 - 1 2 d t

Agora, vamos calcular a integral:

M 2019 - M 2015 = ∫ 2015 2019 1000 2 t + 1 - 1 2 d t

10000 - M 2015 = ∫ 2015 2019 1000 2 t + 1 - 1 2 d t

Passo 2

Para calcular a integral, você pode usar uma técnica de substituição trigonométrica, onde u = 2 t + 1   e   d u = 2 d t . A integral se torna:

10000 - M 2015 = ∫ 3 5 1000 u - 1 2 d u 2  

10000 - M ( 2015 )   =   1000 ∫ 3 5 1000 u - 1 2 d u 2    

10000   -   M ( 2015 )   =   1000 2 u 1 2 3 5

10000 - M ( 2015 )   =   1000 2 ⋅ 5 1 2 - 2 ⋅ 3 1 2

10000 - M ( 2015 )   =   1000 2 ⋅ 5 - 2 ⋅ 3

M 2015 = 10000 - 2000 ⋅ ( 5 - 3 )

Resolvendo numericamente essa expressão, encontramos:

M 2015 ≈ 8000  

Portanto, a matrícula em 2015 seria aproximadamente 8000 estudantes.

Resposta

Portanto, a matrícula em 2015 seria aproximadamente 8000 estudantes.

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