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Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

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Enunciado

UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - IM/UFRJ - Lista 5 - P3, Questão 14b

O número M de matrículas de um certo colégio vem crescendo a uma taxa de

d M d t   =   1000 2 t   +   1 - 1 2

estudantes por ano desde 2015. Se a matrícula em 2019 foi de 10.000 estudantes, responda:

(b) Quantos estudantes são esperados em 2027 se o crescimento continuar na mesma taxa?

Passo 1

Vamos calcular o valor exato das respostas usando os cálculos de integração. Dada a taxa de crescimento:

d M d t   =   1000 2 t   +   1 - 1 2

Quantos estudantes são esperados em 2027 se o crescimento continuar na mesma taxa?

Integrando a taxa de crescimento desde 2019 até 2027

∫ 2019 2027 d M = ∫ 2019 2027 1000 2 t + 1 - 1 2 d t

Agora, vamos calcular a integral:

M 2027 - M 2019 = �� 2019 2027 1000 2 t + 1 - 1 2 d t

M 2027 - 10000 = ∫ 2019 2027 1000 2 t + 1 - 1 2 d t

Passo 2

Para calcular a integral, você pode usar uma técnica de substituição trigonométrica, onde u = 2 t + 1   e   d u = 2 d t . A integral se torna:

M 2027 - 10000 = 1000 ∫ 2 ⋅ 2019 + 1 2 ⋅ 2027 + 1 u - 1 2 d u 2  

M 2027 - 10000 =   1000 ∫ 4039 4055 u - 1 2 d u 2    

M 2027 - 10000 =   1000 2 u 1 2 4039 4055

M 2027 - 10000 =   1000 2 ⋅ 4055 1 2 - 2 ⋅ 4039 1 2

M 2027 - 10000 =   1000 2 ⋅ 4055 - 2 ⋅ 4039

M 2027 = 10000 + 1000 ⋅ ( 2 ⋅ 4055 - 2 ⋅ 4039 )

Resolvendo numericamente essa expressão, encontramos:

M 2027 ≈ 12000  

Portanto, a matrícula em 2027 seria aproximadamente 12000 estudantes.

Resposta

Portanto, a matrícula em 2027 seria aproximadamente 12000 estudantes.

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