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Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 51

Uma partícula se move ao longo da parábola descrita pela equação y = x 2 + 1 . Determine os

pontos da curva nos quais as taxas de variação da abscissa e da ordenada são iguais.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar pontos da curva onde as taxas de variação da abiscissa x e da ordenada y são iguais. Essa condição pode ser escrita assim:

d x d t = d y d t

Mas para encontrar d y d t precisamos encontrar a derivada da parábola y = x 2 + 1 e pra isso vamos usar a regra da cadeia:

d y d t = d y d x ∙ d x d t

Vamos lá!

Passo 2

Vamos calculando a derivada da equação da parábola, implicitamente em relação a t :

d y d t = 2 x ∙ d x d t

Mas a nossa condição é de que d y d t = d x d t . Assim, temos:

d y d t = 2 x ∙ d y d t

Simplificando:

2 x = 1 → x = 1 2

Substituindo esse valor de x em y = x 2 + 1 , temos a coordenada y :

y = 1 2 2 + 1 = 1 4 + 1

y = 5 4  

Portanto, o ponto onde as taxas de variação da abscissa e da ordenada são iguais é:

P 1 2 , 5 4

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

P 1 2 , 5 4

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