UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 55a
Um reservatório cônico de de profundidade e de diâmetro está recebendo água na razão de . Determine:
a) A taxa de variação da altura do nível da água quando esta estiver a ;
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar a taxa de variação do nível da água, que nós vamos chamar de , em relação ao tempo. Pra isso, nós temos uma taxa de variação do volume , porque ele está recebendo água, e um raio , que é metade do diâmetro ().
Vamos esboçar o cone pra entender melhor:
O que nós temos que fazer é encontrar quando . O volume e a altura são relacionados através da expressão do volume do cone:
Então, vamos tentar expressar em função apenas de , usando as relações de proporcionalidade da figura acima, derivar a expressão e substituir os dados para encontrar .
Vamos lá!
Passo 2
Olhando a figura do passo , nós conseguimos relacionar o raio e a altura através da equação:
Isolando , temos:
Substituindo esse valor de na expressão do volume , vamos ter:
Passo 3
Agora vamos derivar cada lado da equação acima em relação a :
Isolando :
Agora substituindo e , temos:
Isso significa que a água está subindo a uma taxa de .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉