Um reservatório possui a forma de um cone circular reto com o vértice para baixo, tem 8 m de profundidade e 8 m de diâmetro. Esse reservatório é esvaziado à razão constante de 1 / m^3 / min .

Determine a razão segundo a qual o nível de água está descendo no instante em que a superfície da água está a 2 m do topo.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a taxa de variação do nível da água, que nós vamos chamar de h , em relação ao tempo. Pra isso, nós temos uma taxa de variação do volume d V d t = - 1   m 3 / m i n , porque ele está sendo esvaziado, e um raio r = 4   m , que é metade do diâmetro.

Vamos esboçar o cone pra entender melhor:

O que nós temos que fazer é encontrar d h d t quando h = 2   m . O volume e a altura são relacionados através da expressão do volume do cone:

V = 1 3 π r 2 h

Então, vamos tentar expressar V em função apenas de h , usando as relações de proporcionalidade da figura acima, derivar a expressão e substituir os dados para encontrar d h d t .

Vamos lá!

Passo 2

Olhando a figura do passo 1 , nós conseguimos relacionar o raio e a altura através da equação:

r h = 4 8

Isolando r , temos:

r = 4 h 8 → r = h 2

Substituindo esse valor de r na expressão do volume V , vamos ter:

V = 1 3 π h 2 2 h

V = π 12 h 3

Passo 3

Agora vamos derivar cada lado da equação acima em relação a t :

d V d t = π 4 h 2 d h d t

Isolando d h d t :

d h d t = 4 π h 2 d V d t

Agora substituindo h = 2   m e d V d t = - 1   m 3 / m i n , temos:

d h d t = 4 π 2 2 ∙ ( - 1 )

d h d t = - 1 π   m / m i n

Isso significa que a água está descendo a uma taxa de 1 π ≈ 0,32   m / m i n .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

- 0,32   m / m i n

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