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Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

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Enunciado

UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 3 - Taxas Relacionadas, Questão 3a

3 - Sejam x e y funções deriváveis de t e seja s = x 2 + y 2 a distância entre os pontos x , 0 e 0 , y no plano x y .

a) Como d s d t se relaciona com d x d t se y é constante?

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão temos que mostrar como d s / d t se relaciona com d x / d t se y é constante dado que x e y são funções deriváveis de t e s = x 2 + y 2 é a distância entre os pontos x , 0 e 0 , y no plano x y .

E aí, tem ideia do que podemos fazer? 👀

Nosso objetivo é obter uma equação que relacione d s d t com d x d t .

Mas x e y são funções de t , ou seja, x t e y t então para obter a derivada de s em relação a t , temos que aplicar a regra da cadeia.

Veja só! 😉

Passo 2

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é obtida pela derivada da função de dentro multiplicada pela derivada da função de fora, ou seja

d s d t = d x 2 + y 2 d t = d u d u · d x 2 + y 2 d t

Substituímos a função interna x 2 + y 2 por u

d s d t = 1 2 u · d x 2 d t + d y 2 d t

Novamente temos que aplicar a regra da cadeia para as derivadas de x e y , pois essas variáveis são funções de t , ou seja

d s d t = 1 2 u · d x 2 d x · d x d t + d y 2 d y · d y d t

d s d t = 1 2 u · 2 x · d x d t + 2 y · d y d t

Simplificando e voltando u para x 2 + y 2 ...

d s d t = 1 2 x 2 + y 2 2 x d x d t + 2 y d y d t

No enunciado foi dito que y é constante, então a variação de y em relação a t é 0 , ou seja, d y d t = 0 .

d s d t = 1 2 x 2 + y 2 2 x d x d t + 2 y 0

d s d t = x x 2 + y 2 d x d t

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

d s d t = x x 2 + y 2 d x d t

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