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Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

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Enunciado

UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 3 - Taxas Relacionadas, Questão 3c

3 - Sejam x e y funções deriváveis de t e seja s = x 2 + y 2 a distância entre os pontos x , 0 e 0 , y no plano x y .

c) Como d x d t se relaciona com d y d t se s é constante?

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nessa questão temos que mostrar como d x / d t se relaciona com d y / d t se s é constante dado que x e y são funções deriváveis de t e s = x 2 + y 2 é a distância entre os pontos x , 0 e 0 , y no plano x y .

E aí, tem ideia do que podemos fazer? 👀

Nosso objetivo é obter uma equação que relacione d s d t com d x d t e d y d t .

Mas x e y são funções de t , ou seja, x t e y t então para obter a derivada de s em relação a t , temos que aplicar a regra da cadeia.

Veja só! 😉

Passo 2

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é obtida pela derivada da função de dentro multiplicada pela derivada da função de fora, ou seja

d s d t = d x 2 + y 2 d t = d u d u · d x 2 + y 2 d t

Substituímos a função interna x 2 + y 2 por u

d s d t = 1 2 u · d x 2 d t + d y 2 d t

Novamente temos que aplicar a regra da cadeia para as derivadas de x e y , pois essas variáveis são funções de t , ou seja

d s d t = 1 2 u · d x 2 d x · d x d t + d y 2 d y · d y d t

d s d t = 1 2 u · 2 x · d x d t + 2 y · d y d t

Simplificando e voltando u para x 2 + y 2 ...

d s d t = 1 2 x 2 + y 2 2 x d x d t + 2 y d y d t

Como s é constante, então a variação de s em função de t é 0 , ou seja

0 = 1 2 x 2 + y 2 2 x d x d t + 2 y d y d t

2 x d x d t + 2 y d y d t = 0

Isolando d x d t em um lado da igualdade

2 x d x d t = - 2 y d y d t

d x d t = - 2 y 2 x d y d t

d x d t = - y x d y d t

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

d x d t = - y x d y d t

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