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Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Derivadas, Questão 5.2

Um tanque de água possui o formato de um cone circular invertido, com base de raio 2 m e

altura igual a 4 m . Se a água está a sendo bombeada para o tanque a uma taxa de 2   m 3 / m i n ,

encontre a taxa na qual o nível da água está a aumentando quando a água estiver com 3 m

de profundidade.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo. Dessa vez uma de taxa relacionada

Nosso objetivo é saber a taxa na qual o nível da água está a aumentando quando a água estiver com 3 m de profundidade

é informado que a água está sendo bombeada para o tanque a uma taxa de 2   m 3 / m i n

Passo 2

Vamos desenhar nosso cone

Vamos tentar escrever h em função de r . Usando semelhança de triângulos temos:

4 / h   a s s i m   c o m o   4 / r

⇒ h = r

Passo 3

Agora que sabemos que h   =   r . Vamos escrever a fórmula do volume do cone em função de h . Como o volume e a altura mudam, vamos colocar eles em função do tempo t . Logo

V ( t ) = π r ( t ) 2 h ( t ) / 3

V ( t ) = π h 3 ( t ) / 3

Agora que temos a relação entre volume e altura. Vamos derivar

V ' ( t ) = π h 2 ( t ) h ' ( t )

Passo 4

Agora que sabemos que

V ' ( t ) = π h 2 ( t ) h ' ( t )

e o enunciado diz que V ' ( t ) = 2   m 3 / m i n , basta substituirmos h ( t ) = 3 para descobrirmos a variação da altura quando a água está a 3 m de profundidade.

Então:

Se V ' ( t ) = 2   m 3 / m i n e h ( t ) = 3 . Logo

V ' ( t ) = π h 2 ( t ) h ' ( t )

⇒ 2 = π 9 h ' ( t )

⇒ h ' ( t ) = 2 9 π   m 3 / m i n

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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