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Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

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Enunciado

UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 3 - Taxas Relacionadas, Questão 7

7 - Um tanque cilíndrico com raio de 5 m está sendo cheio com água a uma taxa de 3 m 3 / m i n . Quão rápido a altura da água está aumentando?

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema temos um tanque cilíndrico de raio 5 m e está sendo enchido com água a uma taxa de 3 m 3 / m i n .

Com isso, queremos saber qual é a rapidez com que a altura da água está aumentando.

Parece tranquilo? 👀

O volume do cilindro é dado por

V = π r 2 h

Onde r é uma constante e h é a função que descreve a altura da água no tanque.

Legal? 😁

Passo 2

Queremos obter a variação de h em relação a t , então vamos derivar os dois lados da igualdade em t

d V d t = d π r 2 h d t

Como π e r são constantes, podemos tirá-los da derivada

d V d t = π r 2 d h d t

Isolando d h d t em um lado da igualdade, temos

d h d t = 1 π r 2 · d V d t

A variação do volume em relação ao tempo é 3 m 3 / m i n e o raio r é fixo em r = 5 m , portanto

d h d t = 1 π 5 2 · 3

d h d t = 3 25 π m / m i n

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

d h d t = 3 25 π m / m i n

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