Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Profº Sato - Listas de Cálculo 1 - 2ª Lista de Exercícios, Questão 4.1b

Se um tanque contém, inicialmente, 5.000 galões de água, que escoa pelo fundo em 40 minutos,

então a Lei de Torricelli dá o volume V de água que restou no tanque depois de t minutos como

,em que

Em que instante o fluxo é mais rápido? E mais vagaroso? Resuma o que você encontrou.

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos dá uma função que, para cada instante de tempo entre 0 minutos e 40 minutos, nos retorna o volume de água em galões que o tanque possui nesse instante de tempo. Por exemplo, para t = 0, ou seja, no instante inicial, temos que o galão se encontra completamente cheio, se substituirmos t = 0 na função , enquanto que, no instante final, em t = 40 minutos, temos que o tanque está completamente vazio, porque . A questão pede para determinar o instante de tempo em que o fluxo é mais rápido e mais vagaroso, então para isso, precisamos calcular sua derivada temporal para descobrir como a função varia no tempo! Bora derivar então! Para derivar essa função vamos utilizar a regra da cadeia, pois a função pode ser vista como uma composição das funções e . Assim, a função pode ser escrita como e sua derivada será dada através da regra da cadeia

Agora, temos uma função que para cada instante de tempo t dado nos dá a taxa de escoamento do tanque!

Passo 2

Agora que possuímos a função derivada, podemos analisá-la para determinar em quais instantes o fluxo é mais rápido ou mais vagaroso. Primeiro, note que a função derivada é uma reta decrescente, o que qualitativamente é intuitivo, visto que a quantidade de água no tanque diminui com o tempo. Sendo uma reta definida em um intervalo finito, temos que a função derivada terá um valor mínimo e máximo global. Nesse caso, no intervalo para o qual a função está definida, , temos que, em módulo, o maior valor que a função derivada assume ocorre quando t = 0 pois , quando ocorre o maior fluxo de água pelo tanque. Similarmente, temos que o momento em que o fluxo atinge seu valor mínimo, ocorre quando t = 40 minutos, quando a derivada atinge seu valor mínimo, em módulo, porque . A figura abaixo representa, em vermelho, o gráfico do volume de água no tanque em função do tempo e em verde a derivada do volume em relação ao tempo.

Resposta

Fluxo mais rápido: t = 0 min

Fluxo mais vagaroso: t = 40 min

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