Um triângulo P Q R está inscrito num semicírculo de diâmetro 15   c m conforme a figura abaixo. Sabendo que o vértice Q varia sobre o semicírculo e que o lado Q R aumenta à razão de 1   c m / s , determine a taxa com a qual a área do triângulo varia no instante em que o lado Q R mede 12   c m .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a taxa com a qual a área do triângulo varia no instante em que o lado Q R mede 12   c m , sabendo que o lado P R tem 15   c m (diâmetro do semicírculo onde ele tá inscrito) e que o lado Q R aumenta à razão de 1   c m / s (ou seja, d x d t = 1 ).

Repare que o triângulo P Q R é retângulo. Vamos chamar de x o lado Q R e de y o lado P Q . Assim, vamos poder usar o Teorema de Pitágoras para relacionar essas variáveis. Como queremos saber o quanto a área varia, vamos usar a fórmula de área do triângulo:

A = x y 2

Mas a gente quer a variação, então precisamos derivar implicitamente essa equação. Quando fizermos isso, vai aparecer um termo d y d t , que vai ser determinado derivando implicitamente a relação obtida pelo teorema de Pitágoras, junto com os dados que o enunciado nos deu. Vai ficar mais claro a medida que formos resolvendo a questão.

Vamos lá!

Passo 2

Nós temos um triângulo retângulo com a hipotenusa P R = 15   c m . Então, com x = Q R e y = P Q , por Pitágoras, temos:

x 2 + y 2 = 15 2

Quando Q R = x = 12 , temos:

12 2 + y 2 = 15 2

y = 9

Passo 3

Agora podemos usar o teorema de Pitágoras novamente para encontrar d y d t . Então, derivando x 2 + y 2 = 15 2 , temos:

d d x ( x 2 ) + d d t ( y 2 ) = d d t ( 15 2 )

2 x d x d t + 2 y d y d t = 0

Como a gente sabe que Q R aumenta à razão de 1   c m / s , temos d x d t = 1   c m / s . Além disso, temos Q R = x = 12   c m e y = 9   c m . Substituindo na equação, vamos ter:

2 12 1 + 2 9 d y d t = 0  

Isolando d y d t :

d y d t = - 24 18 = - 4 3

Passo 4

Mas a gente quer saber como a varia a área do triângulo A = x y 2 , então vamos derivar implicitamente essa equação, usando a regra do produto:

A ' = 1 2 y d x d t + x d y d t

Mas nós encontramos d x d t = 1   c m / s , d y d t = - 4 3   c m / s , x = 12   c m e y = 9   c m . Então, a variação da nossa área será:

A ' = 1 2 9 ∙ 1 + 12 ∙ - 4 3

A ' = - 7 2   c m 2 / s

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A ' = - 7 2   c m 2 / s

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