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Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

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Enunciado

UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 3 - Taxas Relacionadas, Questão 16

16 - Está vazando água de um tanque em forma de um cone invertido a uma taxa de 10.000 c m 3 / m i n . Ao mesmo tempo, a água está sendo bombeada para dentro do tanque a uma taxa constante. O tanque tem 6 m de altura e diâmetro no topo de 4 m . Se o nível da água estiver subindo a uma taxa de 20 c m / m i n quando a altura da água for 2 m , encontre a taxa segundo a qual a água está sendo bombeada para dentro do tanque.

Passo 1

Suave na nave?! Tá complicada essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema temos um tanque de água em formato de cone invertido que está tendo um vazamento a uma taxa constante de 10.000 c m 3 / m i n ao mesmo tempo que ele está sendo enchido a uma taxa desconhecida.

Sabemos que o tanque possui 6 m de altura e diâmetro 4 m no topo. Sabemos também que o nível de água está subindo a uma taxa de 20 c m / m i n .

Com essas informações, queremos saber qual é a taxa que o tanque está sendo enchido quando a altura da água for de 2 m .

Parece complicado, não é? 🤔

Passo 2

Podemos dizer que o volume de água no tanque é igual ao volume que ele está sendo enchido subtraído do volume que está vazando por unidade de tempo.

V t t = V e n c t - V v a z t

O volume do tanque é dado por

V t t = π h r 2 3

Não queremos saber o raio do tanque no momento em que a altura h = 4 m , então podemos substituir r por de alguma forma, ou seja, de o raio do tanque é 2 m (diâmetro 4 m ), então

h r = 6 2 = 3 → r = h 3

Substituindo em V t t

V t t = π h h 3 2 3

V t t = π h 3 27

Substituindo na equação dos volumes...

π h 3 27 = V e n c t - V v a z t

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Derivando ambos os lados com relação a t , vamos obter a equação que relaciona as taxas de volume do tanque, do vazamento e do enchimento, ou seja

d V t t d t = d V e n c t d t - d V v a z t d t

d π h 3 27 d t = d V e n c t d t - d V v a z t d t

Como h é uma função de t já que a altura da água varia em função do tempo e a taxa de volume vazado por segundo do tanque é constante, temos

π 27 d h 3 d t = d V e n c t d t - 10000

Aplicando a regra da cadeia na derivada de h 3 , temos

π 27 d h 3 d h d h d t = d V e n c t d t - 10000

π 27 3 h 2 d h d t = d V e n c t d t - 10000

Isolando a taxa de volume de enchimento do tanque d V e n c t d t em um lado da igualdade, temos

d V e n c t d t = π h 2 9 d h d t + 10000

h é a altura do momento que queremos medir o enchimento do tanque, ou seja, h = 2 m = 200 c m e a variação de h no tempo foi dada como 20 c m / m i n , portanto d V e n c t d t é dada por

d V e n c t d t = π 200 2 9 20 + 10000

d V e n c t d t = 800.000 π 9 + 10000 c m 3 / m i n

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

d V e n c t d t = 800.000 π 9 + 10000 c m 3 / m i n

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