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Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 48

Uma viga de 30   m de comprimento está apoiada em uma parede e o seu topo desliza para baixo a

uma velocidade constante de 0,5   m / s . Determine a taxa de variação do ângulo agudo formado pela

viga e pelo chão no instante em que o topo da viga se encontra a 18   m do chão.

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc1!!! Dessa vez uma questão sobre taxas relacionadas. Temos a seguinte situação

Uma viga de 30   m de comprimento está apoiada em uma parede e o seu topo desliza para baixo a

uma velocidade constante de 0,5   m / s .

Ou seja, Vamos fazer um desenho para visualizarmos o problema

Passo 2

Bem, queremos saber a taxa de variação do ângulo agudo formado pela viga e pelo chão no instante em que o topo da viga se encontra a 18   m do chão.

vamos chamar da distância até a parede de x ( t ) e a altura da barra de y ( t ) . Logo, como a barra tem 30 m temos por pitágoras

3 0 2 = x 2 ( t ) + y 2 ( t )

Como o enunciado diz que

y ' ( t ) = 0.5

Logo,

y ( t ) = 30 - 0.5 t

Podemos usar essa informação para calcularmos x ' ( t )

derivando em t

3 0 2 = x 2 ( t ) + y 2 ( t )

temos:

0 = 2 x ( t ) * x ' ( t ) + 2 y ( t ) * y ' ( t )

Logo,

x ' ( t ) = - y ( t ) y ' ( t ) / x ( t )

Passo 3

Chegamos à conclusão que

x ' ( t ) = - y ( t ) y ' ( t ) / x ( t )

Como θ é dado pelo a r c t g ( y ( t ) / x ( t ) )

Podemos usar a regra da cadeia para encontramos θ '

θ ' ( t ) = d d t a r c t g ( y ( t ) / x ( t ) )

Derivando,

= 1 y 2 ( t ) / x 2 ( t ) + 1 * ( y ( t ) / x ( t ) ) '

Usando a regra da razão

= 1 y 2 ( t ) / x 2 ( t ) + 1 * y ' ( t ) x ( t ) - y ( t ) x ' ( t ) x 2 ( t )

Calculando θ ' ( t ) para t = 24 (viga está a 18 m do chão)

= 1 y 2 ( t ) / x 2 ( t ) + 1 * y ' ( t ) x ( t ) - y ( t ) x ' ( t ) x 2 ( t )

= - 0.5 * 24 - 18 * ( - 6 / 24 ) 576

= - 12 + 18 / 4 576

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o   A c i m a

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