UFMG – Cálculo 2 – P1 – Questão 1
Determine se a série abaixo converge absolutamente, ou se converge condicionalmente, ou se diverge:
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa série parece ser complicada, mas vou facilitar para você! Vamos lá?
O problema pede para avaliarmos a convergência dessa série aqui:
E dizer se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Mas calma aí, você lembra o que cada coisa significa?
Uma série será absolutamente convergente quando o módulo de seu termo geral, , for convergente! Uma série é condicionalmente convergente quando, sob alguma condição, essa série converge.
Calma, aqui vai um exemplo:
Por exemplo, a série harmônica : ela sendo positiva, como a gente conhece, diverge. Mas quando ela se torna alternada (multiplicando o termo geral, ), ela é convergente!
Então, mesmo se série divergir quando olhamos apenas para o módulo do seu termo geral, ainda a série alternada pode convergir. Quando é assim, dizemos que a série converge condicionalmente.
Mas, se nos dois casos a série divergir, então a série diverge mesmo.
Certo?
No nosso problema, temos uma série alternada, então o teste perfeito aqui (e que envolve o módulo do termo geral) é o teste da razão para séries alternadas.
Então a ideia aqui é o seguinte:
- Aplicar o teste da razão para séries alternadas e ver se chegamos a alguma conclusão (diverge ou converge);
- Caso dê um resultado inconclusivo, aplicar o teste das séries alternadas (caso dê certo, essa série será condicionalmente convergente)
- E se falhar de novo? Ah, é porque então essa série diverge!
Beleza? Vamos começar?
A série que precisamos analisar é essa aqui:
E como já comentei com você ali no passo anterior, vamos aplicar o teste da razão para séries alternadas.
Então para aplicar esse teste precisamos:
- identificar quem é na nossa série
- calcular
- determinar a razão
- calcular o limite dessa razão e comparar o resultado desse limite com as conclusões do teste =)
No nosso caso , então precisamos calcular . Para fazer isso, basta trocar por no termo geral:
Agora vamos calcular a razão :
Parece feio, mas é assim mesmo! Como queremos calcular o limite dessa expressão quando , então já vou me antecipar aqui e multiplicar e divididr pelo conjugado do denominador, para eliminar aquela raiz ali embaixo #truquesujo
Garanto pra você que melhora daqui a pouco!
Tranquilo até aqui? Agora precisamos calcular o limite dessa razão ()!
Passo 2
O próximo passo é calcular o limite dessa razão quando , usando todas as técnicas de limites que você aprendeu lá no cálculo 1:
Xi! Deu ruim!
Calma! Sabemos agora que a série não converge absolutamente, mas será que condicionalmente ela converge?
Passo 3
Como o resultado foi divergente para a parte absoluta da série, vamos precisar aplicar outro teste para verificar seu comportamento vamos aplicar o teste das séries alternadas, já que se trata de uma série alternada!
Se o resultado for convergente já sabe: essa série só converge se for alternada, caso contrário ela diverge!
Nossa série querida:
Esse teste tem duas condições para atestar que uma série converge, saca só:
Seja uma série alternada, ela será convergente se:
Vamos ver se essa série satisfaz as duas condições? Bora lá!
Xi, deu ruim! Mas já aprendemos o truque sujo de multiplicar e dividir pelo conjugado, para levantar essa indeterminação:
Simplificando o numerador temos o seguinte:
Ok! A primeira condição foi satisfeita! Vamos verificar a segunda?
Podemos notar que os termos estão diminuindo, que temos um padrão de decrescimento, então
E a segunda condição também é satisfeita!
Sendo assim, a série alternada converge, embora não possamos concluir isso do módulo dessa série.
Isso significa que nossa série converge condicionalmente!
Ufa! Terminamos!
Bora pra próxima?