Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

Ver Teoria
Exercício 151234567891011121314161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

Integrais de superfície – caso vetorial

Considere a superfície S do paraboloide z = 9 - x 2 - y 2 , situada no primeiro octante ( x ≥ 0 ,   y ≥ 0 ,   z ≥ 0 ) .

  1. Ache uma parametrização para S .
  2. Calcule a área de S .

Passo 1

Letra a)

Bom primeiro vamos parametrizar o paraboloide e depois analisar os intervalos dos parâmetros, ok?

Podemos usar coordenadas ciíndricas, já que temos simetria em relação ao eixo z :

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z = 9 - r cos ⁡ θ 2 + r   s e n   θ 2 = 9 - r 2

Logo, temos a parametrização

φ r ,   θ = r cos ⁡ θ , r   s e n   θ , 9 - r 2

Show, agora vamos ver os intervalos de r e θ .Como se trata do primeiro octante, sabemos que 0 ≤ θ ≤ π / 2 .

Para descobrir o valor máximo de r , temos que fazer a intersecção do paraboloide com o plano z = 0 , que é a circunferência de raio 3 :

x 2 + y 2 = 9

Logo, 0 ≤ r ≤ 3 .

Passo 2

Letra b)

Precisamos calcular a normal à S :

∂ φ ∂ r = cos ⁡ θ , s e n   θ , - 2 r

∂ φ ∂ θ = - r sen ⁡ θ , r cos ⁡ θ , 0

∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ θ = i j k cos ⁡ θ s e n   θ - 2 r - r sen ⁡ θ r cos ⁡ θ 0

= 2 r 2 cos ⁡ θ , 2 r 2 s e n   θ , r cos 2 ⁡ θ + r   s e n 2 θ =

= 2 r 2 cos ⁡ θ , 2 r 2 s e n   θ , r

Agora vamos tirar o módulo desse vetor

∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ θ = 4 r 4 cos 2 ⁡ θ + 4 r 4 s e n 2 θ + r 2

= 4 r 4 + r 2 =

= r 4 r 2 + 1

Agora, aplicamos a fórmula

A = ∬ S   d S = ∬ D   ∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ θ d r d θ

A = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 3 r 4 r 2 + 1 d r d θ

Fazendo

4 r 2 + 1 = u

8 r   d r = d u

r = 0         →           u = 1

r = 3           →         u = 37

Levando para a integral

A = 1 8 ∫ 0 π / 2 ∫ 1 37 u d u d θ

= 1 13 ∫ 0 π / 2 u 3 / 2 1 37 d θ =

= 1 12 ∫ 0 π / 2 37 3 / 2 - 1 d θ =

= θ 12 37 3 / 2 - 1 0 π / 2 =

= π 24 37 3 / 2 - 1

Resposta

  1. φ r ,   θ = r cos ⁡ θ , r   s e n   θ , 9 - r 2 ,   0 ≤ θ ≤ π 2 , 0 ≤ r ≤ 3
  2. A = π 24 37 3 / 2 - 1

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de uma integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z = c
Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 y z d S S é a parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y que está acima do retângulo 0,3 × 0,2 .
Determine a área da superfície.A parte do cone z = x 2 + y 2 que se encontra entre o plano y = x e o cilindro y = x 2 .
Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de um a integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z =
Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 + y 2 d S , S é a superfície com equação vetorial. r u , v =2 u v , u 2 - v 2, u 2 + v 2, u 2 + v 2 ≤ 1