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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 16 – Seção 7 – Questão 9

(Cap.16.7- Exercício 9) Calcule a integral de superfície.

∬ x 2 y z d S ,

S é a parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y que está acima do retângulo 0,3 × 0,2 .

Passo 1

Oiiii gente linda! Bom nossa questão deseja o valor da integral de superfície, existem algumas formas de calcular, más, para este exercício é infinitamente mais simples calcular a integral de superfície utilizando a fórmula:

∬ D f x , y , g x , y ∂ z ∂ x ² + ∂ z ∂ y ² + 1 d A

A fórmula deu uma mudada porque agora estamos projetando a superfície S em um dos planos y z ou x z , e utilizaremos ela justamente porque o comando disse que a superfície faz parte do plano z .

Então, inicialmente vamos calcular a taxa de variação em relação a x e y.

∂ z ∂ x = ∂ 1 + 2 x + 3 y ∂ x = 2

∂ z ∂ y = ∂ 1 + 2 x + 3 y ∂ y = 3

Passo 2

Quando temos uma função do tipo = f x , y

A integral de superfície fica ∬ x 2 y z d S = ∬ x 2 y z 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 de acordo com a fórmula acima,

∬ x 2 y z 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = 14 ∬ x 2 y z = 14 ∫ 0 3 ∫ 0 2 x 2 y 1 + 2 x + 3 y d y d x

= ∫ 0 3 ∫ 0 2 x 2 y + 2 x 3 y + 3 x 2 y 2 d y d x = ∫ 0 3 1 2 x 2 y 2 + x 3 y 2 + x 2 y 3 0 2 d x

= 14 ∫ 0 3 10 x 2 + 4 x 3 d x = 14 10 x 3 3 + x 4 0 3 = 171 14

Tudo certo?

Continuem praticando, logo logo você tá expert na matéria.

Resposta

∬ x 2 y z d S = 171 14

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