Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

Ver Teoria
Exercício 761234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 16 – Seção 7 – Questão 9

(Cap.16.7- Exercício 9) Calcule a integral de superfície.

∬ x 2 y z d S ,

S é a parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y que está acima do retângulo 0,3 × 0,2 .

Passo 1

Oiiii gente linda! Bom nossa questão deseja o valor da integral de superfície, existem algumas formas de calcular, más, para este exercício é infinitamente mais simples calcular a integral de superfície utilizando a fórmula:

∬ D f x , y , g x , y ∂ z ∂ x ² + ∂ z ∂ y ² + 1 d A

A fórmula deu uma mudada porque agora estamos projetando a superfície S em um dos planos y z ou x z , e utilizaremos ela justamente porque o comando disse que a superfície faz parte do plano z .

Então, inicialmente vamos calcular a taxa de variação em relação a x e y.

∂ z ∂ x = ∂ 1 + 2 x + 3 y ∂ x = 2

∂ z ∂ y = ∂ 1 + 2 x + 3 y ∂ y = 3

Passo 2

Quando temos uma função do tipo = f x , y

A integral de superfície fica ∬ x 2 y z d S = ∬ x 2 y z 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 de acordo com a fórmula acima,

∬ x 2 y z 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = 14 ∬ x 2 y z = 14 ∫ 0 3 ∫ 0 2 x 2 y 1 + 2 x + 3 y d y d x

= ∫ 0 3 ∫ 0 2 x 2 y + 2 x 3 y + 3 x 2 y 2 d y d x = ∫ 0 3 1 2 x 2 y 2 + x 3 y 2 + x 2 y 3 0 2 d x

= 14 ∫ 0 3 10 x 2 + 4 x 3 d x = 14 10 x 3 3 + x 4 0 3 = 171 14

Tudo certo?

Continuem praticando, logo logo você tá expert na matéria.

Resposta

∬ x 2 y z d S = 171 14

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de uma integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z = c
Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 y z d S S é a parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y que está acima do retângulo 0,3 × 0,2 .
Determine a área da superfície.A parte do cone z = x 2 + y 2 que se encontra entre o plano y = x e o cilindro y = x 2 .
Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de um a integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z =
Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 + y 2 d S , S é a superfície com equação vetorial. r u , v =2 u v , u 2 - v 2, u 2 + v 2, u 2 + v 2 ≤ 1