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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 16 – Seção 7 – Questão 13

(Cap. 16.7 - Exercício 13) Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S x 2 z 2 d S

S é a parte do cone z 2 = x 2 + y 2 que está entre os planos z = 1 e z = 3

Passo 1

Fala galera, bora começar? Pra inicio de conversa, nota o seguinte: O cone está sendo cortado por dois planos com z > 0 . Portanto se eu fizer:

z 2 = x 2 + y 2

z = ± x 2 + y 2

Eu não vou precisar me preocupar em calcular a integral de superfície para parte negativa do cone, logo uma parametrização direta do cone é:

φ x , y = x , y , x 2 + y 2

Show de bola, próximo passo!

Passo 2

Nesse passo vamos calcular d S pela expressão:

d S = ‖ ∂ φ x , y ∂ x × ∂ φ x , y ∂ y ‖ d x d y

Calculando as derivadas a partir da parametrização do passo 1 temos:

∂ φ x , y ∂ x = φ x = 1,0 , x x 2 + y 2

∂ φ x , y ∂ y = φ y = 0,1 , y x 2 + y 2

E o produto vetorial fica:

φ x × φ y = i ^   j ^   k ^   1   0   x x 2 + y 2   0   1   y x 2 + y 2  

φ x × φ y = 0 ∙ i ^ + 0 ∙ j ^ + 1 ∙ k ^ − x x 2 + y 2 ∙ i ^ + y x 2 + y 2 ∙ j ^ + 0 ∙ k ^

φ x × φ y = − x x 2 + y 2 ∙ i ^ − y x 2 + y 2 ∙ j ^ + 1 ∙ k ^

φ x × φ y = − x x 2 + y 2 , − y x 2 + y 2 , 1

E a norma:

‖ φ x × φ y ‖ = − x x 2 + y 2 2 + − y x 2 + y 2 2 + 1 2

‖ φ x × φ y ‖ = x 2 x 2 + y 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 = x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 = 1 + 1 = 2

Show, chegamos a conclusão que:

d S = 2 d x d y

Passo 3

Agora a gente parte pra integral mesmo. Veja que como:

z 2 = x 2 + y 2

d S = 2 d x d y

A integral de superfície pode ser reescrita para:

∫ ∫ S x 2 z 2 d S = 2 ∫ ∫ S x 2 x 2 + y 2 d x d y

Como a gente tá falando desde o início sobre cones, porque não usar coordenadas polares? Seja:

x = r c o s θ

y = r s e n θ

Vamos ter que:

x 2 + y 2 = r 2

x 2 + y 2 = z 2

→ r 2 = z 2 → z = r

Ou seja, como a gente tinha 1 ≤ z ≤ 3 , vamos usar os limites de integração 1 ≤ r ≤ 3 . E como o cone ta inteirinho, sem dar menos de uma volta completa no eixo O z , temos também que 0 ≤ θ ≤ 2 π . A integral se torna:

2 ∫ ∫ S x 2 x 2 + y 2 d x y = 2 ∫ 0 2 π ∫ 1 3 r c o s θ 2 r 2 r d r d θ

Onde o r “solto” é o Jacobiano da mudança de coordenadas que fizemos. Não pode esquecer em. Resolvendo então essa integral, temos:

∫ ∫ S x 2 z 2 d S = 2 ∫ 0 2 π ∫ 1 3 r 5 c o s 2 θ d r d θ

∫ ∫ S x 2 z 2 d S = 2 ∫ 0 2 π r 6 c o s 2 θ 6 | r = 1 r = 3 d θ

∫ ∫ S x 2 z 2 d S = 2 6 ∫ 0 2 π 729 c o s 2 θ − c o s 2 θ d θ

∫ ∫ S x 2 z 2 d S = 728 2 6 ∫ 0 2 π c o s 2 θ d θ

∫ ∫ S x 2 z 2 d S = 364 2 3 ∫ 0 2 π 1 + c o s 2 θ 2 d θ

∫ ∫ S x 2 z 2 d S = 182 2 3 ∫ 0 2 π 1 d θ + ∫ 0 2 π c o s 2 θ d θ

∫ ∫ S x 2 z 2 d S = 182 2 3 θ | θ = 0 θ = 2 π + s e n 2 θ 2 | θ = 0 θ = 2 π

∫ ∫ S x 2 z 2 d S = 182 2 3 2 π + s e n 4 π 2 − s e n 0 2

∫ ∫ S x 2 z 2 d S = 182 2 3 2 π + 0 − 0

∫ ∫ S x 2 z 2 d S = 182 2 3 2 π = 364 π 2 3

Show gente? Os cálculos podem ter ficado meio assustadores, mas a prática faz esse friozinho na barriga passar!

Então bora pra mais?!

Resposta

364 π 2 3

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