UTFPR. Calculo Avançado. Lista 2 de Exercícios - Cálculo Vetorial. AV1. Questão 1d.
1. Calcule a integral de superfície:
d) , é a parte do cilindro , entre os planos e .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Aqui temos um exemplo de integral de superfície no seu caso escalar. Nesses casos temos que seguir alguns passos pra obter a integral da superfície .
Ta sabendo quais passos são esses?? 🤔
A primeira coisa é analisar a superfície ! Nesse caso, temos um cilindro de raio que é dado pela equação e que a altura desse cilindro é limitada pelos planos e .
Com essa ideia em mente, temos que calcular o vetor normal a , pra isso, parametrizamos a equação em função de duas variáveis, derivamos uma vez para cada variável e calculamos o produto vetorial dessas derivadas.
Depois disso, calculamos o modulo desse produto vetorial, aplicamos a parametrização na função de integração e definimos os limites de integração com base nos parâmetros que escolhemos no início.
Entendeu?
Bora ver como fazemos na prática! 😁
Passo 2
é a superfície de um cilindro, lembrando de coordenadas polares, podemos dizer que , e é igual a mesmo.
Com isso, nossa parametrização é
Derivando com relação a
Temos que lembrar do teorema fundamental do cálculo que diz que a derivada do é o e a derivada do é .
Para , é uma constante, então lembrando que a derivada de uma constante é
Com isso, temos que
Agora derivamos com relação a
Para , é constante, então podemos escrever diretamente como
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Pra obter o vetor normal a , vamos calcular o produto vetorial das derivadas que obtemos no passo anterior.
Calculando o determinante, vamos obter
Ou também podemos escrever como
Calculando o modulo desse vetor, temos
Colocando o em evidência
Sabemos que , logo
Bacana, não é? 🤩
Passo 4
Aplicando às coordenadas da função de integração, temos
Simplificando a função
Com isso, nossa integral fica da seguinte maneira
No enunciado foi dito que varia entre e , então estes serão nossos limites de integração para .
Para vemos que é um cilindro centrado na origem e estamos interessados em todos os pontos no intervalo de , ou seja, em todo o redor da origem, logo os limites de integração para é de a
Substituindo esses valores na integral, temos
Integrando com relação a , podemos colocar as constantes para fora da integral e dividir a integral da soma pela soma das integrais
Na primeira integral aplicamos o método da substituição fazendo e
Aplicando o método de integração polinomial
Voltando para , temos
Agora integrando com relação a é como se integrássemos uma constante, então
Interessante, não é? 😎
Passo 5
Juntando os resultados que obtemos para a integral de , temos
Aplicando os limites de integração, temos
Agora com base nesse resultado, integramos com relação a
Pelo método de integração polinomial, temos
Aplicando os limites de integração
Com isso, vemos que a integral de superfície dada no enunciado é igual a !
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
