UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 3, AV3 - 2023.1, Questão 7
Dada a função , é correto afirmar:
- para C dado por
- f é analítica
- para o caminho fechado C.
Passo 1
Vamos analisar cada afirmação:
1. para C dado por |z| = 1:
Essa afirmação está relacionada ao Teorema dos Resíduos e à integral de uma função analítica em torno de um caminho fechado. No caso da função , a integral ao longo de um círculo unitário resultará em , conforme o Teorema dos Resíduos.
2. f é analítica:
Sim, a função é analítica em todo o plano complexo. Ela é a função exponencial complexa e possui derivadas em todas as partes do plano complexo.
Passo 2
3. :
Isso está correto. A derivada da função em relação a z é igual a ela mesma:
4. :
Essa afirmação está correta. A integral da função entre dois pontos e no plano complexo é igual à diferença entre os valores de e .
5. para o caminho fechado C:
Isso não é verdade. A função exponencial complexa não possui um período real, o que significa que não se repete em intervalos finitos no plano complexo. Portanto, a integral ao longo de um caminho fechado geralmente não será igual a zero, a menos que a funç��o seja constante (o que não é o caso para a função exponencial).
Passo 3
Resumindo, as afirmações 1, 2, 3 e 4 estão corretas, enquanto a afirmação 5 é incorreta.
Resposta
As afirmações 1, 2, 3 e 4 estão corretas, enquanto a afirmação 5 é incorreta.