Calcule a área da superfície dada pela equação com e .
Passo 1
Começamos com a parametrização da superfície em questão. Observa que podemos reescrever a superfície dessa forma:
Como se trata de um parabolóide, é razoável utilizar coordenadas cilíndricas. Entretanto, uma coisa que devemos sempre prestar atenção é nas equações das superfícies que limitam a que queremos descobrir a área.
Como se tratam de planos, não é adequada nenhuma parametrização que envolva funções trigonométricas (i.e. cilíndrica e esférica). Portanto, a melhor parametrização que conseguimos obter é a explícita...
Encontrando em função de e obtemos:
Portanto temos como parametrização:
Pelo enunciado ainda temos como domínio:
Passo 2
Para aplicar a fórmula da área precisamos do módulo do vetor normal:
Mas como estamos trabalhando com uma parametrização explícita, podemos encontrar o vetor simplesmente fazendo:
Passo 3
Aplicando a fórmula, temos:
Sendo que:
O detalhe é que fazer essa conta obviamente não vai ser agradável... Vamos trocar de coordenadas por favor? Implementando coordenadas polares, obtemos:
Daí tiramos que nosso domínio vai ser:
Ainda, pra ver a variação de t:
Falta só calcular o Jacobiano para trocar de variáveis. Lembrando lá das mudanças polares
Substituindo na integral os limites de integração junto com o jacobiano:
Finalmente encerramos!