Determine a área da superfície que está dentro do cilindro .
Passo 1
Vamos lá! Tem um passo a passo para achar essa área. Só seguir ele, que dá bom!
Primeira coisa é parametrizar a superfície. Como ela tá escrita como uma função de e explícita:
A gente pode parametrizar ela assim:
E ele diz que nossa superfície está dentro do cilindro, aí a gente pode escrever:
E como nossas variáveis da função estão no plano , o nosso domínio dessa parametrização vai ser dado por essa inequação!
Ela representa todo o espaço do plano , dentro da circunferência de raio e centro na origem, a qual rege nosso cilindro.
Bizu: Uma forma legal de fazer isso é imaginar que se tiver o sol de meio dia no verão batendo na nossa superfície que só existe dentro do cilindro, a sombra dela no plano vai ser esse espaço, um círculo, beleza?
Passo 2
Depois a gente precisa calcular nosso vetor normal. Quando a gente usa essa parametrização aí de cima, o vetor normal é mais tranquilo de achar. Ele tem essa cara:
Aí para o nosso caso:
Passo 3
Belezaaa, a gente já tem o vetor normal a superfície, vamos jogar ele na nossa fórmulinha para achar a área superfície:
Sendo que . Agora é calcular essa belezinha.
Passo 4
A gente tem uma integral num domínio circular, isso diz para gente usar a mudança de coordenadas polares!
Aí a podemos limitar nossa variáveis a partir da inequação que define o domínio
E assumir que ambas as variáveis começam no zero e que dá a volta completa, já que não temos mais informações para restringir esse domínio.
E nossa integral fica:
Passo 5
Calculando essa bonita, vamos usar uma substituição simples:
Achando os novos extremos de integração dessa mudança: