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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

Considere a parte S da superfície z = 2 x y   que fica embaixo da superfície x - y 2 + z = 1 , isto é, S = x , y , z |   2 x y = z     c o m   z ≤ 1 - x - y 2 .

  1. Determine uma parametrização de S , especificando o domínio de definição da parametrização.
  2. Calcule a área da superfície S .

Passo 1

Item 1) vamos começar entendendo melhor a superfície S dada no problema, e uma boa maneira de fazer isso é entendendo como ela interage com a superfície que está delimitando.

Analisar uma interação, aqui pra gente, é olhar para a intersecção:

Tipo, a gente sabe que z = 2 x y e está delimitada por z ≤ 1 - x - y 2 . Vamos montar um sistema com isso, resolver e ver no que dá.

z = 2 x y z ≤ 1 - x - y 2

Substituindo o z da primeira na inequação de baixo, dessa forma aqui

z = 2 x y z ≤ 1 - x - y 2       ⇒         2 x y ≤ 1 - x - y 2

E resolvendo esse quadrado da diferença...

2 x y ≤ 1 - x 2 - 2 x y + y 2       ⇒       2 x y ≤ 1 - x 2 + 2 x y - y 2  

Observe que podemos cortar esse 2 x y e passar esses x 2 e y 2 para o outro lado da inequação, ficando então

x 2 + y 2 ≤ 1

Veja que inequação interessante chagamos! Isso nos indica que estamos trabalhando com uma região com o domínio dentro de um círculo de raio 1 e centro na origem.

Passo 2

Trabalhando com uma região delimitada da forma acima, nos sugere usar coordenadas cilíndricas né?

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

E uma equação que é muito interessante para gente aqui também é

x 2 + y 2 = r 2

Pois bem! a superfície S representada por x ,   y ,   z = ( x ,   y ,   2 x y ) ficará agora sendo representada por

σ r ,   θ = r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ , 2 r 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ

Passo 3

Para a gente encontrar os limites dos nossos parâmetros, vamos olhar bem para o domínio que encontramos

Podemos notar aí que θ de 0 a 2 π , dando uma volta completa e r varia de 0 até 1. Se você desconfiar disso, olhe para a equação que delimita o círculo

x 2 + y 2 ≤ 1     ⇒       r 2 ≤ 1     ⇒       r ≤ 1

Notou?! Logo, o domínio D dá parametrização é de tal maneira que

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 4

Item 2) bem, a gente sabe que área de uma superfície é dada por uma integral de superfície, essa daqui

∯ S d S

Resta pra gente encontrar esse d S que é dada por

d S = N → d r d θ

Onde o N → é a norma do vetor normal a superfície e dada pelo produto vetorial das derivadas parciais da parametrização da superfície, ou seja, temos que encontrar isso daqui:

N → = ∂ σ ∂ r × ∂ σ ∂ θ

Passo 5

Calculando essas derivadas parciais lembrando que σ r ,   θ = r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ , 2 r 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ :

∂ σ ∂ r r ,   θ = cos ⁡ θ ,   sin ⁡ θ , 4 r cos ⁡ θ sin ⁡ θ

E a derivada em relação a θ :

∂ σ ∂ θ r ,   θ = - r sin ⁡ θ ,   r cos ⁡ θ , - 2 r 2 sin 2 ⁡ θ + 2 r 2 cos 2 ⁡ θ

Indo agora para o produto vetorial desses dois vetores...

N → = ∂ σ ∂ r × ∂ σ ∂ θ = i ^ j ^ k ^ cos ⁡ θ sin ⁡ θ 4 r cos ⁡ θ sin ⁡ θ - r sin ⁡ θ r cos ⁡ θ 2 r 2 cos 2 ⁡ θ - sin 2 ⁡ θ

Calculando esse determinante

N → = - 2 r 2 sin 3 ⁡ θ - 2 r 2 cos 2 ⁡ θ sin ⁡ θ i ^ + - 2 r 2 cos 3 ⁡ θ - 2 r 2 cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ j ^ + r cos 2 ⁡ θ + r sin 2 ⁡ θ k ^

Usando agora o fato de que sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 :

N → = ( - 2 r 2 sin ⁡ θ ,   - 2 r 2 cos ⁡ θ ,   r )

Passo 6

Voltando para o problema, o que realmente queremos é N → , logo devemos calcular a norma do vetor normal acima. Dessa forma:

N → = ( - 2 r 2 sin ⁡ θ ) 2 + ( - 2 r 2 cos ⁡ θ ) 2 + r 2 = 4 r 4 sin 2 ⁡ θ + 4 r 4 cos 2 ⁡ θ + r 2

Colocando em evidência 4 r 4 vamos simplificar isso para

N → = 4 r 4 + r 2 = r 4 r 2 + 1

Passo 7

Substituindo na integral de superfície que temos que calcular todos esses ingredientes

∯ S d S = ∬ D N → d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 4 r 2 + 1 d r d θ

Agora a gente usa uma substituição simples:

u = 4 r 2 + 1

d u = 8 r   d r ⇒ d u 8 = r   d r

E os limites vão ficar:

u = 4 0 2 + 1 = 1

u = 4 1 2 + 1 = 5

Então:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 4 r 2 + 1 d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 1 5 u 8 d u d θ

Resolvendo, finalmente, a integral dupla, teremos

∫ 0 2 π ∫ 1 5 u 8 d u d θ = ∫ 0 2 π u 3 / 2 12 1 5 d θ = ∫ 0 2 π 5 5 12 - 1 12 d θ = 2 π 5 5 12 - 1 12 ⇒

∯ S d S = π 5 5 - 1 6

Resposta

Item 1) σ r ,   θ = ( r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ , r 2 sin ⁡ ( 2 θ ) ) ; com

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 π

Item 2)

Á r e a ( S ) = π 5 5 - 1 6

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