Determine a área da parte do paraboloide hiperbólico y = x 2 - z 2 que está entre os cilindros x 2 + z 2 = 1   e   x 2 + z 2 = 4 .

Passo 1

A superfície S é descrita como f(x,y) como dominío 1 ≤ x 2 + z 2 ≤ 4 .

Com isso podemos parametrizar por:

r x , z = ( x ,   x 2 - z 2 , z )

Note que r x , z = x ,   f x , z ,   z . Nesse caso particular, existe uma forma mais simples de escrever o vetor normal.

N → = 1 2 + ∂ f ∂ x 2 + ∂ f ∂ z 2

Caso não tivéssemos caído nesse caso específico, deveríamos calcular o vetor normal o jeito usualcalculando o produto vetorial com determinantes.

Passo 2

A área de S é dada por:

∬ D 1 + 2 x 2 + - 2 z 2 d A

∬ D 1 + 4 ( x 2 + z 2 ) d A

Passo 3

Vamos usar coordenadas polares para as substituições:

x = r cos ⁡ θ

z = r   s e n   θ

J = r

Substituindo nos cilindros:

x 2 + z 2 = 1 → r 2 = 1 → r = 1

x 2 + z 2 = 4 → r 2 = 4 → r = 2

Então, r varia entre 1 e 2, e θ dando a volta completa vai de 0   a   2 π .

Passo 4

Bora escrever nossa integral final então, sem esquecer o Jacobiano:

∫ 0 2 π ∫ 1 2 1 + 4 r 2   r   d r   d θ

Substituindo 4 r 2 por p:

p = 4 r 2 → d p = 8 r   d r → d r = d p 8 r

1 8 ∫ 1 + p   d p

Substituindo 1+p por s:

s = 1 + p → d s = d p

1 8 ∫ s   d s = 1 8 . 2 3 .   s 3 2

2 3 . 1 8 1 + p 3 2 =

2 3 . 1 8 1 + 4 r 2 3 2 1 2 = ( 17 3 2 - 5 3 2 ) / 12

1 12 ∫ 0 2 π ( 17 3 2 - 5 3 2 )   d θ

π 6 ( 17 3 2 - 5 3 2 )

Resposta

π 6 ( 17 3 2 - 5 3 2 )

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