Áreas de superfícies
Calcule a área da superfície da equação compreendida entre os planos , , e o cilindro .
Passo 1
Vamos tentar fazer uma parametrização explícita:
Agora, vamos obter o conjunto dos pontos que estão na região que o enunciado quer, ou seja, entre os planos:
Dessas duas últimas obtemos:
Certo? Pois se os pontos na nossa superfície estão entre uma coisa e outra, podemos escrever que a coordenada deles respeita a relação acima.
Passo 2
Substituindo a parametrização que temos para :
Obtemos pela inequação à esquerda:
Só que nossos pontos tem que estar entre e alguma outra coisa, significando que:
Da inequação à direita, obtemos:
Supomos ambos positivos, por estarem entre os planos e , portanto:
Temos ainda que:
Ainda por causa daquela condição de estar entre .
Passo 3
Temos então que o nosso domínio (conjunto que governa as restrições dos parâmetros) é:
Então podemos correr atrás do elemento de área:
Calculando as parciais:
Calculando o produto vetorial:
Que resulta em:
Segue que o módulo é:
Passo 4
Portanto:
Plugando os limites de integração, que são provenientes do conjunto :
Estamos integrando em primeiro, portanto essa função que não depende de podemos tirar fora da integral de dentro:
Integrando em é só lazer:
Passo 5
Por substituição simples:
Fazendo a indefinida:
Plugando os valores dos limites de integração:
Finalmente...