Encontre a área da superfície z = 1 + 3 x + 3 y 2 que está acima do triângulo com vértices ( 0,0 ) , ( 0,1 ) e ( 2,1 ) .

Passo 1

Vamos, antes de tudo, desenhar essa superfície para termos uma ideia melhor do problema. Temos a equação z = 1 + 3 x + 3 . Sabe o que é isso? Bom, eu também não sabia! Vivendo e aprendendo né.

Você não precisa disso para resolver a questão, mas se estiver curioso, é essa superfície aí (meio que um cilindro de parábola distorcido):

O problema pede a área dessa superfície que está limitada pelo triângulo abaixo:

É como se esse triângulo se estendesse ao longo do eixo z e cortasse a superfíce vermelha, sacou?

Beleza, vamos usar essa fórmula aqui para calcular a área da superfície:

A S = ∬ D   ∂ φ ∂ u × ∂ φ ∂ v d u d v

Passo 2

Agora precisamos parametrizar a superfície. Como nossa equação é z = 1 + 3 x + 3 y 2 , vamos usar x e y como parâmetros, ok? Temos então:

φ x ,   y = ( x , y , 1 + 3 x + 3 y 2 )

Onde x e y se encontram dentro do triângulo que desenhamos no passo anterior, a projeção da nossa superfíce cortada no plano x y .

Passo 3

Calcular ∂ φ ∂ x e ∂ φ ∂ y

∂ φ ∂ x = ( 1,0 , 3 )

∂ φ ∂ y = ( 0,1 , 6 y )

Passo 4

Calcular N → x ,   y

N → x , y = ∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ y

N → x , y = 1,0 , 3 × 0,1 , 6 y

N → x , y = i j k 1 0 3 0 1 6 y

N → x , y = ( - 3 , - 6 y , 1 )

N → x , y = 9 + 36 y 2 + 1

N → x , y = 10 + 36 y 2

Passo 5

Agora vamos montar a integral

A S = ∬ D   10 + 36 y 2 d x d y

Onde D é a região dentro no triângulo. Vamos ver esse triângulo de cima, para poder descrever a região:

Já podemos dizer que 0 ≤ y ≤ 1 , pela figura. Agora vamos encontrar o intervalo de x . Escrevendo a região como do tipo II, x tem que estar limitado por funções.

Pelo gráfico, vemos que x varia desde x = 0 até a reta inclinada (que liga os pontos ( 0,0 ) e ( 2,1 ) ). Vamos então achar a equação dessa reta inclinada.

Temos a equação geral da reta y = a x + b . Substituindo os pontos da reta:

0 = 0 + b         →           b = 0

1 = 2 a + b

a = 1 2

A equação da reta é então y = x 2 , ou x = 2 y . Assim, podemos escrever 0 ≤ x ≤ 2 y .

Levando os intervalos que encontramos para a integral:

= ∫ 0 1 ∫ 0 2 y 10 + 36 y 2 d x d y

Passo 6

Agora vamos resolver essa integral aí. Integrando em relação a x , temos:

= ∫ 0 1 x 10 + 36 y 2 0 2 y d y =

= ∫ 0 1 2 y 10 + 36 y 2 d y =

Agora vamos fazer a substituição

10 + 36 y 2 = u

72 y   d y = d u

y   d y = 1 72 d u

y = 1           →         u = 46

y = 0           →         u = 10

Levando isso para a integral, temos:

= 1 36 ∫ 1 0 46 u d u =

Agora é só integrar

= 1 36 × 2 3 u 3 / 2 10 46 =

= 1 54 ( 46 46 - 10 10 ) =

Resposta

1 54 ( 46 46 - 10 10 )

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