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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 16 – Seção 7 – Questão 18

(Cap 16.7- Exercício 18) Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S x z d S

S é o limite da região delimitada pelo cilindro y 2 + z 2 = 9 e pelos planos x = 0 e x + y = 5

Passo 1

Hello! Vamos para mais uma?!

Galera, dividiremos a nossa superfície em partes menores e assim a integral de superfície que a nossa questão deseja será a soma das integrais de cada parte, nesse caso, S será composta de três superfícies. Vamos chamar assim:

S 1 : x = 0

S 2 : y 2 + z 2 = 9

S 3 : x = 5 − y

Vamos calcular a integral de cada superfície, de forma que:

∫ ∫ S x z d S = ∫ ∫ S 1 x z d S + ∫ ∫ S 2 x z d S + ∫ ∫ S 3 x z d S

Já começamos com a mais trivial, quando x = 0 :

∫ ∫ S 1 x z d S = ∫ ∫ S 1 0 d S = 0

Passo 2

Agora, para S 2 , vamos usar a seguinte parametrização:

r x , θ = x i + 3 c o s θ j + 3 s e n θ k , 0 ≤ θ ≤ 2 π , 0 ≤ x ≤ 5 − y = 5 − 3 c o s θ

Então,

r x × r θ = 1,0 , 0 × 0 , − 3 s e n θ , 3 c o s θ = 0 , − 3 c o s θ , − 3 s e n θ

r x × r θ = 9 c o s 2 θ + 9 s e n 2 θ = 3

Portanto, teremos que a integral de S 2 será:

∫ ∫ S 2 x z d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 5 − 3 c o s θ x 3 s e n θ 3 d x d θ = 3 ∫ 0 2 π 3 s e n θ x 2 2 0 5 − 3 c o s θ d θ = 3 2 ∫ 0 2 π 3 s e n θ 5 − 3 c o s θ 2 d θ = 3 2 5 − 3 c o s θ 3 3 0 2 π = 1 2 2 3 − 2 3 = 0

Passo 3

Para S 3 , podemos ver x como uma função de y e z , escrevendo assim:

x y , z = 5 − y , ∂ x ∂ y = − 1 , ∂ x ∂ z = 0

Então escreveremos a integral assim:

∫ ∫ S 3 x z d S = ∫ ∫ D 5 − y z 1 + − 1 2 + 0 2 d A

Onde D é o disco y 2 + z 2 ≤ 9 . Então, é melhor usar coordenadas polares aqui:

∫ ∫ D 5 − y z 2 d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 5 − r c o s θ r s e n θ 2 r d r d θ = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 3 5 r 2 s e n θ − r 3 s e n θ c o s θ d r d θ = 2 ∫ 0 2 π 5 r 3 s e n θ 3 − r 4 s e n θ c o s θ 4 r = 0 r = 3 d θ = 2 ∫ 0 2 π 45 s e n θ − 81 4 s e n θ c o s θ d θ = 2 − 45 c o s θ − 81 4 s e n 2 θ 2 0 2 π = 2 − 45 − 0 + 45 + 0 = 0

Ou seja,

∫ ∫ S x z d S = ∫ ∫ S 1 x z d S + ∫ ∫ S 2 x z d S + ∫ ∫ S 3 x z d S = 0 + 0 + 0 = 0

Clareou as ideias? Espero que sim!

Bora continuar estudando!

Resposta

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