Encontre a área da superfície que está entre os planos , , e .
Passo 1
Bem, área de superfície para a gente aqui é uma integral de superfície
Onde é a superfície que a gente busca saber a área, ou seja, é o gráfico de
Não sabemos trabalhar com essa superfície dessa forma, por isso bora parametriza ela?:)
Passo 2
Como temos uma variável explicitamente em função de outras duas
Podemos tentar uma parametrização explícita, ou seja
Onde os limites dos nossos parâmetros são os planos que nos foi dado, ou seja:
varia de até 1
E , também
Passo 3
Bem, para resolver aquela integral de superfície, devemos ter o termo . Pela teoria
Epa! Não saímos sem o vetor norma, portanto vamos calcula-lo antes:
Como a superfície é , calculando as derivadas parciais
Jogando no produto vetorial lembrando que produto vetorial é um determinante...
Calculando esse determinante
Extraindo o módulo
Logo
Passo 4
Retornando para a integral de superfície que vemos calcular
Substituindo esses caras que acabamos de encontrar
Bem agora não tem mais nada de integral de superfície e sim, integração, Partiu?
Passo 5
Calculando primeiro a integral em , considerando constante...
Substituindo esses limites de integração...
Bem, agora para essa integral aí, teremos que fazer alguma substituição. Mas antes, vamos manipular esse denominador
Se lembrarmos de que (sim... as hiperbólicas, mas infelizmente, essa é saída mais viável) então, por comparação com o termo dos parênteses
Tiramos que
Logo, passando essa raiz e esse pro outro lado
e derivando (lembre-se que a derivada do seno hiperbólico é o cosseno, porém hiperbólico )
Substituindo...
Observe que não colocamos os limites, pois os limites são de , e vamos trabalhar com as hiperbólicas. Mas não se preocupe! No final trocamos tudo para e voltamos com eles !
Passo 6
Então, se tivéssemos trabalhando com uma integral de cosseno ao quadrado normal, o que faríamos?
Sim, substituiríamos por .
Então, com o cosseno hiperbólico, também é parecido:
Integrando o 1
E agora integrando esse cosseno hiperbólico fazendo uma substituição simples de
Se a derivada de é , então a integral vale
Concluímos então que a integral vale
Passo 7
Pow, devemos voltar com a variável original, e para isso, vamos primeiro desmembrar aquele seno de
Para voltar para a variável , sabemos que
Então precisamos buscar quem é o e quem é o
Passo 8
Para o cosseno hiperbólico, pela equação fundamental:
Extraindo a raiz, mas pegando só o lado positivo (O negativo não interessa)
Para o , basta toma a função inversa do seno (hiperbólico) quem, é?
Substituindo tudo...
Substituindo os limites de integração...
Calma! Não se assuste, pois arco seno hiperbólico de 0, é como , então
Dividindo esse troço da fração por 2
Basicamente já acabou, mas se quiser deixar esse resultado mais elegante,
Removendo esse parênteses...