Calculo 3 – UFPE – 2° EE
Seja S a superfície definida pela parte do plano que está dentro do cilindro .
- Determine uma parametrização para a superfície S juntamente com o domínio D da parametrização.
- Parametrize o bordo da superfície.
- Use a parametrização para explicitar o elemento de área de superfície.
- Calcule a integral
Passo 1
Vamos começar pela parametrização da curva . Cada superfície tem uma parametrização diferente. As vezes utilizamos coordenadas cilíndricas, as vezes as esféricas.
Mas para o caso de um plano, que é o caso desta questão, basta isolarmos a variável da sua equação. Com isto, vamos obter:
E agora, o que fazer? Vamos montar uma função vetorial . E com isto, basta substituirmos a relação que assume, conforme descobrimos anteriormente. Portanto, temos a seguinte equação paramétrica para a superfície S:
Para finalizarmos esta letra, precisamos descobrir qual é o domínio D desta superfície. Como a questão já nos diz, a superfície S é a parte do plano dentro do cilindro . Então, a região dentro desse cilindro é o nosso domínio!
Se a gente deixa bem claro, explícito, o nosso domínio é:
E assim conseguimos finalizar a letra a
Passo 2
Esta história de parametrizar o bordo da superfície S seria encontrar uma curva que pertence tanto ao plano quanto a superfície do cilindro.
Então, o que temos que fazer aqui, é compor a superfície encontrada na resolução da letra a) com a parametrização da curva que corresponde ao bordo do cilindro, o que significa em um disco.
Como o disco tem equação , uma parametrização seria chamar e (percebam que estamos utilizando aqui coordenadas cilíndricas, em que o número 2 corresponde ao raio do disco). Além disto, vamos variar o valor de t no intervalo .
Para nós finalizarmos esta letra, basta pegarmos esta parametrização do disco e substituir na parametrização da superfície. Com isto, vamos obter:
OBS: percebam uma pequena diferença com o resultado do gabarito publicado. Isto aconteceu pois esqueceram de multiplicar as variáveis e no caso da terceira coordenada pelos coeficientes.
Passo 3
O elemento de área é obtido da norma do produto vetorial de por . Isto é,
Eita, muita informação de uma vez só. Vamos devagar então.
Começaremos obtendo as derivadas parciais da equação paramétrica da superfície S, . Para isto, basta lembrar que ao derivarmos em relação a , consideramos constante, e vice-versa. Logo,
Agora, vamos calcular o produto vetorial entre eles. Para isto, basta montar uma matriz 3x3 em que a primeira linha consiste nos vetores da base canônica (i,j,k), na segunda linha são as coordenadas do primeiro vetor e na terceira linha as coordenadas do segundo vetor. O determinante desta matriz é o nosso vetor resultante.
Portanto, calculando o produto vetorial, temos:
Calculando a norma deste vetor resultante, temos:
Portanto, o elemento de área é:
Passo 4
Por fim, vamos calcular a integral . Primeiro, nós substituímos quem é a variável (obtida diretamente pela equação do plano). Portanto, nossa integral é:
O elemento de área foi calculado no item anterior. Portanto, basta substituirmos na relação acima.
Contudo, teríamos um problema ao fazer isto. Teríamos que explicitar os limites de integração, que saem diretamente do domínio D encontrado no Passo 1, . Só que percebam que o domínio é uma região circular. Fica muito mais fácil resolver esta integral dupla se mudarmos o nosso sistema de coordenadas para as coordenadas polares.
E é isto o que vamos fazer. Vamos mudar o elemento de área para coordenadas polares e a função da nossa integral. Lembrando, as coordenadas polares são dadas por:
Com e (limites que saem diretamente do disco de raio 2 e arco . Continuando, o elemento de área é:
E sendo assim, a nossa integral se transforma em:
Agora, só nos resta resolvermos esta integral dupla. Primeiro, vamos reorganizar e entrar em relação a . Portanto,
Agora, vamos integrar em relação a . Portanto,
Portanto, a resposta da nossa integral é:
Resposta
- A equação parametrizada da superfície e o domínio são:
- A parametrização do bordo da superfície é:
- O elemento de área é:
- O resultado da integral é: