Integrais de superfície – caso escalar
Calcule a integral de superfície escalar:
Sendo a porção do cilindro:
Contida no primeiro octante, limitada superiormente por:
E inferiormente por:
Passo 1
Como estamos tratando um cilindro, vamos usar coordenadas cilíndricas:
Portanto, comparando com a equação trigonométrica fazemos:
Se plugarmos de volta na equação obtemos:
O que acarreta que:
E portanto a nossa parametrização que era:
Não vai mais depender de , pois descobrimos ser uma constante. Por consequência disto e ficam só como funções de e fica solto:
Sendo seu próprio parâmetro.
Logo, a parametrização para o cilindro é dada por:
Pois está no primeiro octante.
Substituindo a parametrização nas equações dos paraboloides temos que:
Portanto, temos que está no intervalo:
Passo 2
Calculando o nosso elemento de área:
Fazendo as parciais:
Fazendo o produto:
Segue que o módulo é:
Então
Passo 3
Plugando na integral:
Agora é hora de ser guerreiro:
Já pensando em fazer uma substituição, vamos manipular a expressão para aparecer o , mas vamos parar para pensar um pouco o porque disso.
Temos um cara muito louco dentro de uma raiz, que é esse cara bonitinho , a nossa ideia é fazer uma substituição onde vamos chamar esse cara de , mas porque diabos fazemos isso? Se eu derivar esse cara vai aparecer que é o que está do lado de fora assim a nossa integral vai ficar mais facinha de fazer.
E você vai ver aqui embaixo que aquele outro cara também dá para colocar um número mais , por “coincidência” fica bonitinho, isso na verdade é o seu professor de cálculo querendo “ajudar” rs, vamos voltar para a conta
Vamos substituir:
Põe as constantes pra fora... Sem fazer nenhum movimento brusco.
Fazendo a substituição simples:
Substituindo dá:
Agora fazendo a distributiva e partindo pro abraço:
Daí:
Plugando de volta os valores de integração: