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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

Integrais de superfície – caso escalar

Calcule ∬ S   17 - 4 z d S onde S é a parte da superfície z = 4 - x 2 - y 2 limitada por z = 2 y + 1 .

Passo 1

Como temos que calcular uma integral de superfície, então, precisamos encontrar uma parametrização para S . Temos a superfície

z = 4 - x 2 - y 2

Limitada por z = 2 y + 1 . Vamos usar x e y como parâmetros mesmo:

σ x , y = x , y ,   4 - x 2 - y 2

Agora, vamos cortar esse paraboloide com o plano z = 2 y + 1 :

z = 4 - x 2 - y 2 = 2 y + 1

x 2 + y 2 + 2 y = 3

x 2 + y + 1 2 = 3 + 1 = 4

Isso quer dizer que a projeção do paraboloide cortado no plano x y é um círculo deslocado. Então o domínio da nossa parametrização é:

x 2 + y + 1 2 ≤ 4

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Passo 2

Temos uma integral de superfície escalar, então precisamos achar a norma do vetor normal, primeiro vamos achar o vetor normal, ele vai ser

N x , y = ∂ σ ∂ x × ∂ σ ∂ y

Vamos começar achando as derivadas da parametrização

∂ σ ∂ x = 1,0 , - 2 x

∂ σ ∂ y = 0,1 , - 2 y

O vetor normal vai ser

N x , y = i j k 1 0 - 2 x 0 1 - 2 y

N x , y = 2 x , 2 y , 1

Passo 3

A norma vai ficar

N x , y = 2 x 2 + 2 y 2 + 1 2

N r , θ = 4 x 2 + 4 y 2 + 1

Passo 4

A integral vai ficar

∬ S   17 - 4 z d S = ∬ D f σ x , y N x , y d x d y

Onde D = x 2 + y + 1 2 ≤ 4 , como já vimos na parametrização da superfície. Escrevendo f em função da parametrização, temos:

f σ x , y = 17 - 4 ( 4 - x 2 - y 2 )

f σ x , y = 1 + 4 ( x 2 + y 2 )

Vamos ter

= ∬ D 1 + 4 ( x 2 + y 2 ) 1 + 4 ( x 2 + y 2 ) d x d y =

= ∬ D 1 + 4 ( x 2 + y 2 ) d x d y =

Passo 5

Agora precisamos resolver essa integral aí. Como

D = x 2 + y + 1 2 ≤ 4

Vamos usar coordenadas polares deslocadas aqui:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ - 1

J = r

Isso nos dá 0 ≤ θ ≤ 2 π e 0 ≤ r ≤ 2 . Levando para a integral:

= ∫ 0 2 π ∫ 0 2 1 + 4 r 2 cos 2 ⁡ θ + 4 r   s e n   θ - 1 2 r d r d θ =

= ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r + 4 r 3 cos 2 ⁡ θ + 4 r 3 s e n 2 θ - 8 r 2 s e n   θ + 4 r d r d θ =

= ∫ 0 2 π ∫ 0 2 4 r 3 - 8 r 2 s e n   θ + 5 r d r d θ =

Agora é só resolver isso aí:

= ∫ 0 2 π r 4 - 8 r 3 3 s e n   θ + 5 r 2 2 0 2 d θ =

= ∫ 0 2 π 16 - 64 3 s e n   θ + 10 0 2 d θ =

= 26 θ + 64 3 cos ⁡ θ 0 2 π =

= 52 π

Resposta

52 π

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