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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

Justifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.

  1. O campo vetorial

    2. F → =   - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2

    é um campo vetorial conservativo com função potencial f x , y = a r c t a n ⁡ ( y x ) .

  2. A área da parte superior z = x y que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 3 , é 14 π 3 .

Passo 1

  1. Bora ver essa primeira afirmação. Pra ser verdade precisamos precisamos que:

∂ f ∂ x = F 1   e   ∂ f ∂ y = F 2

Então vamos lá.

f x = ∂ ∂ x a r c t a n y x   .   ∂ ∂ x y x → 1 1 + y x 2   .   - y x 2 =   - y x 2 + y 2

f y = ∂ ∂ y a r c t a n y x   .   ∂ ∂ y y x = x x 2 + y 2

Passo 2

Bom, aparentemente está tudo perfeito! Mas, se vc acha que está tudo pefeito, parabéns, você quase caiu na pegadinha que nem eu (se você não caiu, você é o poderoso, se dê um tapinha nas costas por mim).

Acontece que aqui f não é potencial por ter domínio diferente de F .

O domínio do f são todos os reais menos o (0,0), enquanro o domínio de F são os reais menos todo o eixo y . Então ficamos com FALSA

Passo 3

(b) Como está sendo pedido a área de uma superfície S , de função f x , y = x y ,   dentro da região que vamos chamar de D , que é um cilindro de enquação x 2 + y 2 = 3 , teremos

A S = ∬ D N →   d x d y

Parametrizando f(x,y)

φ x , y = ( x , y , x y )

N → = ∂ φ ∂ x   × ∂ φ ∂ y = - ∂ f ∂ x , - ∂ f ∂ y ,   1

= - ∂ f ∂ x 2 + - ∂ f ∂ y 2 + 1 2 = x 2 + y 2 + 1    

Ficamos então com

A S = ∬ D x 2 + y 2 + 1   d A

Passo 4

Usando coordenadas polares, onde

x = r   c o s θ

y = r   s e n θ

J = r

Substitundo em D

x 2 + y 2 = 3 =   r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 θ = 3 → r = 3

O θ varia de 0 a 2 π por dar uma volta completa.

x 2 + y 2 + 1 = r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 θ + 1 = r 2 + 1

Ficamos então com (sem esquecer o Jacobiano)

∫ 0 2 π ∫ 0 3 r 2 + 1   r   d r   d θ = 2 π 3 1 + r 2 3 2 0 3    

= 14 π 3

Afirmação VERDADEIRA.

Resposta

(a) Falsa

(b) Verdadeira

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