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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 16 – Seção 7 – Questão 10

(Cap. 16.7 - Exercício 10) Calcule a integral de superfície.

∬ x z d S , S é a parte do plano 2 x + 2 y + z = 4 que está no primeiro octante.

Passo 1

Olá, é um prazer ter vocês aqui! Bom nossa questão deseja o valor da integral de superfície, existem algumas formas de calcular, más, para este exercício é infinitamente mais simples calcular a integral de superfície utilizando a fórmula:

∬ D f x , y , g x , y ∂ z ∂ x ² + ∂ z ∂ y ² + 1 d A

A fórmula deu uma mudada porque agora estamos projetando a superfície S em um dos planos y z ou x z , e utilizaremos ela justamente porque o comando disse que a superfície faz parte do plano z .

Onde z = 4 − 2 x − 2 y

∂ z ∂ x = ∂ 4 − 2 x − 2 y ∂ x = − 2

∂ z ∂ y = ∂ 4 − 2 x − 2 y ∂ y = − 2

Passo 2

Quando temos uma função do tipo = f x , y

A integral de superfície fica ∬ x z d S = ∬ x z 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A de acordo com a fórmula acima, o nde 0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 2 − x primeiro octante definimos como o primeiro octante em que x ≥ 0 e y ≥ 0 e z ≥ 0

∬ x z 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A = ∬ x z 3 d A = 3 ∫ 0 2 ∫ 0 2 − x x 4 − 2 x − 2 y d y d x

= 3 ∫ 0 2 ∫ 0 2 − x 4 x − 2 x 2 − 2 x y d y d x = ∫ 0 2 4 x y − 2 x 2 y − x y 2 0 2 − x

= 3 ∫ 0 2 4 x y − 2 x 2 y − x y 2 0 2 − x d x = 3 ∫ 0 2 x 3 − 4 x 2 + 4 x d x

= 3 ⋅ 1 4 ⋅ x 4 4 − 4 3 x ³ + 2 x ² | 0 2 = 4

Tá pegando o jeito? Espero que sim!

Vamos continuar praticando!

Resposta

∬ x z d S = 4

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