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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo 3 - Profº Edson Figueiredo - 4ª Lista, Questão 22

Nos exercícios 16 -> 25, calcule ∬ S f x , y , z d s

∬ S   x 2 + y ² d s

onde S é a parte do paraboloide z = 1 - x 2 - y 2 , que está situada acima do plano z = 0 .

Passo 1

Fala galera, bora resolver nosso exercício?

Estamos lidando nesse caso com uma integral de linha no caso escalar onde para resolver, seguiremos o passo a passo para a sua solução direta:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Substituir os termos da parametrização na função f x ,   y ,   z .

3º - Encontrar o termo d S .

Partiu chegar ao nosso objetivo?

Passo 2

Bom, vamos começar parametrizando a nossa superfície S. Vamos começar analisando a fórmula dela:

z = 1 - x 2 - y 2

Reparem que temos aqui a fórmula de um paraboloide. Como temos simetria, podemos usar as coordenadas cilíndricas:

x = r c o s θ

y = r s e n θ

z = z

Para acharmos o nosso r , vamos ter que fazer a intersecção do nosso paraboloide com o plano limitado. No caso, o enunciado nos diz que:

z ≥ 0

Então:

1 - x 2 - y 2 ≥ 0

x 2 + y ² ≤ 1

Logo:

0 ≤ r ≤ 1

Para acharmos o valor de z :

z = 1 - x 2 - y 2

z = 1 - r ² c o s ² θ - r ² s e n ² θ

z = 1 - r ²

Com uma notação um pouco mais gentil...

r → r , θ = r c o s θ , r s e n θ , 1 - r ²

Passo 3

Então, agora precisamos substituir os termos da função que estamos integrando...

f x ,   y ,   z = x 2 + y ²

Pelos termos da parametrização...

x = r c o s θ

y = r s e n θ

z = z

Logo...

f r → r , θ = r ²

Passo 4

Beleza, então com essas etapas concluídas, podemos sair em busca do termo d S ...

d S = N →   d x d y

Onde esse vetor normal é dado por...

N → = ∂ r → r , θ ∂ θ × ∂ r → r , θ ∂ r

Vamos começar derivando:

∂ r → r , θ ∂ θ = - r s e n θ , r cos ⁡ θ , 0

∂ r → r , θ ∂ r = c o s θ , s e n θ , - 2 r

Calculando agora a norma:

N → = ∂ r → r , θ ∂ θ × ∂ r → r , θ ∂ r = i j k - r s e n θ r cos ⁡ θ 0 c o s θ s e n θ - 2 r

N → = ( - 2 r ² cos ⁡ θ i + 0 j - r s e n ² ( θ ) k ) - ( r cos 2 ⁡ θ k + 0 i + 2 r ² s e n θ j )

N → = ( - 2 r ² cos ⁡ θ i - 2 r ² s e n θ - r k )

Então

Extraindo o módulo...

N → = ( - 2 r ² cos ⁡ θ ) ²   + ( - 2 r ² s e n θ ) ² + ( r ) ²  

N → = 4 r 4 cos ² ⁡ θ + 4 r 4 s e n ² θ + r ²  

N → = r 4 r 2 + 1  

Então...

d S = r 4 r 2 + 1 d r d θ

Passo 5

Com isso, temos que achar o nosso intervalo de integração agora. Pensando na ideia de um cilindro, é de se pensar numa circunferência completa ( 2 π ) .

0 ≤ θ ≤ 2 π

E como vimos lá no Passo 1:

0 ≤ r ≤ 1

Passo 6

Voltando agora para a nossa integral do início:

∬ S   f x ,   y ,   z d S

∬ S   x 2 + y ² d s = ∬ D   r ² r 4 r 2 + 1 d r d θ = ∬ D   r ³ 4 r 2 + 1 d r d θ

Aplicando os limites de Integração:

∬ D   r ³ 4 r 2 + 1 d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r ³ 4 r 2 + 1 d r d θ

Vamos então calcular primeiro a integral de dentro:

∫ 0 1 r ³ 4 r 2 + 1 d r = 1 120 ( 6 r 2 - 1 ) ( 4 r 2 + 1 ) 3 2 0 1

∫ 0 1 r ³ 4 r 2 + 1 d r = 1 120 25 5 + 1

Logo a nossa integral agora fica:

∬ D   r ³ 4 r 2 + 1 d r d θ = ∫ 0 2 π 1 120 25 5 + 1 d θ

∬ D   r ³ 4 r 2 + 1 d r d θ = 1 120 25 5 + 1 ∫ 0 2 π d θ

∬ D   r ³ 4 r 2 + 1 d r d θ = 1 120 25 5 + 1 2 π

∬ D   r ³ 4 r 2 + 1 d r d θ = π 6 0 25 5 + 1

Resposta

π 60 25 5 + 1

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