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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

Questão 1 :

a) Seja S a parte do cilindro y 2 + z 2 = 9 que está no interior do cilindro x 2 + y 2 = 9 com z ≥ 0 . Calcule a massa de S sendo a densidade δ x ,   y ,   z = z 3 .

Passo 1

A essa altura do campeonato, massa de superfície não é nada mais nada menos que uma integral de superfície escalar. Mas não é qualquer integral de superfície e sim esta daqui oh:

M = ∬ S   δ x ,   y ,   z d S

A boa notícia é que uma integral dessa forma tem um passo a passo bem legal que nos ajuda muito:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Substituir os termos da parametrização na função densidade δ x ,   y ,   z .

3º - Encontrar o termo d S .

Bora lá?

Passo 2

Devemos parametrizar a superfície S , mas por falar nisso quem é ela? Seria muito bom se tivéssemos uma visão mais geométrica dela, então desenhemos esses dois cilindros juntos e vamos ver no que dá:

S é a parte desse cilindro deitado ao redor de x , y 2 + z 2 = 9 ...

Mas está delimitado pelo cilindro em pé ao redor de z e também pelo chão z = 0 ...

Eis a superfície S !

Passo 3

Temos que parametrizar esse cara. Bem, podemos fazer isso de uma forma explícita caso explicitarmos o z em sua equação...

y 2 + z 2 = 9       ���           z 2 = 9 - y 2           →                 z = ± 9 - y 2

Como se trata da parte de cima...

z = 9 - y 2

Veja que o x e o y são os próprios parâmetros dessa superfície. O z já é uma função deles, saca? Então a parametrização legal que fizemos foi:

γ x ,   y = x ,   y ,   9 - y 2

Passo 4

Nunca concluímos uma parametrização sem antes dizer onde os parâmetros, o que no caso são o x e o y , estão variando.

Essa etapa pra nós não é muito chata, pois pensa comigo: A superfície é o cilindro deitado certo? Então qual é o papel desse cilindro x 2 + y 2 = 9 em pé?

Exatamente, delimitar a parte da superfície que queremos, ou seja, a parte que queremos de superfície é de tal que ela está dentro do cilindro em pé. Então o x e o y da superfície, variam nesse círculo D de raio 3 aí:

Por hora, apenas vamos dizer que:

x ,   y ∈ D

Depois se precisar descrevemos como polar e tal ;)

Passo 5

Pelo passo a passo legal do passo 1 , é hora de substituir os parâmetros da parametrização:

γ x ,   y = x ,   y ,   9 - y 2

Na função que estamos integrando:

δ x ,   y ,   z = z 3

Ou seja...

δ γ x ,   y = 9 - y 2 3 =

9 - y 2 ⋅ 9 - y 2

Passo 6

Para encontrar o termo d S ...

d S = N → d x d y

Onde o vetor normal, usualmente pode ser determinado por, calculando:

N → = ∂ γ x , y ∂ x × ∂ γ x , y ∂ y

Calculando essas derivadas parciais...

γ x ,   y = x ,   y ,   9 - y 2

∂ γ x , y ∂ x = 1 ,   0 ,   0

Calculando a outra derivada parcial tomando cuidado com a regra da cadeia

∂ γ x , y ∂ y = 0 ,   1 , 1 2 9 - y 2 ⋅ - 2 y =

0 ,   1 , - y 9 - y 2

Voltando para o produto vetorial lembrando que esse é dado pelo cálculo de um determinante:

N → = ∂ γ x , y ∂ x × ∂ γ x , y ∂ y =

i → j → k → 1 0 0 0 1 - y 9 - y 2 = k → - - y 9 - y 2 j →

Então

N → = 0 ,   y 9 - y 2 ,   1

Extraindo o módulo...

N → = 0 2 + y 9 - y 2 2 + 1 2

N → = y 2 9 - y 2 + 1 = y 2 9 - y 2 + 9 - y 2 9 - y 2 =

9 9 - y 2

Então concluímos que o termo que o termo d S é...

d S = 3 9 - y 2   d x d y

Passo 7

Voltando para a integral e substituindo tudo...

M = ∬ S   δ x ,   y ,   z d S =

∬ D   9 - y 2 ⋅ 9 - y 2 ⋅ 3 9 - y 2   d x d y

Observe que trocamos o S por D , afinal agora vamos calcular uma integral dupla em x e y necessitando do domínio deles, sacou?

M = 3 ∬ D   9 - y 2 d x d y

Agora é só calcular a integral dupla e correr para o abraço!

Passo 8

Por falar em integral dupla, note que estamos calculando uma integral dentro de uma região circular, sugerindo coordenadas polares:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

J = r

Para determinar os limites, basta olhar novamente para a região D , repare que:

0 ≤ r ≤ 3

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 9

Substituindo na integral dupla que queremos não esquecendo-se do Jacobiano...

M = 3 ∬ D   9 - y 2 d x d y =

3 ∫ 0 2 π ∫ 0 3 9 - r sin ⁡ θ 2 ⋅ J   d r d θ =

3 ∫ 0 2 π ∫ 0 3 9 - r 2 sin 2 ⁡ θ ⋅ r   d r d θ =

3 ∫ 0 2 π ∫ 0 3 9 r - r 3 sin 2 ⁡ θ   d r d θ =

Integrando em r ...

3 ∫ 0 2 π ∫ 0 3 9 r - r 3 sin 2 ⁡ θ   d r d θ =

3 ∫ 0 2 π 9 r 2 2 - r 4 4 sin 2 ⁡ θ 0 3 d θ =

Substituindo os limite em r ...

3 ∫ 0 2 π 9 3 2 2 - 3 4 4 sin 2 ⁡ θ d θ =

3 ∫ 0 2 π 81 2 - 81 4 sin 2 ⁡ θ d θ =

Lembrando que sin 2 ⁡ θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2 ...

3 ∫ 0 2 π 81 2 - 81 4 1 2 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ = 3 ∫ 0 2 π 81 2 - 81 8 + 81 8 cos ⁡ 2 θ d θ =

3 ∫ 0 2 π 243 8 + 81 8 cos ⁡ 2 θ d θ =

Integrando...

3 243 8 θ + 81 8 ⋅ sin ⁡ 2 θ 2 0 2 π =

729 π 4

Resposta

729 π 4

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