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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 16 – Seção 7 – Questão 7

(Cap.16.7 - Exercício 7) Calcule a integral de superfície.

∬ y d S , S é o helicoide com equação vetorial

r u , v = ⟨ u c o s v , u s e n v , v ⟩ , 0 ⩽ u ⩽ 1,0 ⩽ v ⩽ π

Passo 1

Tudo bem com vocês?

Primeiro de tudo respira e vamos para o nosso problema.

A questão deseja saber o valor da integral de superfície, temos que a fórmula usada para esses casos é:

∬ S f x , y , z d S = ∬ D f r u , v r u × r v d A

A segunda parte da nossa equação faz se o uso da parametrização de superfície, caso as equações não viessem parametrizadas seria necessário a realização desse procedimento.

Passo 2

Do enunciado temos r u , v = ⟨ u c o s v , u s e n v , v ⟩ , 0 ⩽ u ⩽ 1,0 ⩽ v ⩽ π

Podemos calcular a sua taxa de variação em relação a u e v.

r v = ∂ x ∂ v i ⃑ + ∂ y ∂ v j ⃑ + ∂ z ∂ v k ⃑ = ∂ u c o s v ∂ v i ⃑ + ∂ u s e n v ∂ v j ⃑ + ∂ v ∂ v k ⃑ = − u . s e n v i ⃑ + u . c o s v j ⃑ + k ⃑

r u = ∂ u c o s v ∂ u i ⃑ + ∂ u s e n v ∂ u j ⃑ + ∂ v ∂ u k ⃑ = c o s v i ⃑ + s e n v j ⃑

Ao observar nossa formulinha vemos a necessidade de encontrar o módulo do produto vetorial em relação aos vetores r u e r v .

Botando a mão na massa:

r u × r v = c o s v i ⃑ + s e n v j ⃑ × − u . s e n v i ⃑ + u . c o s v j ⃑ + k ⃑ = s e n v i ⃑ − c o s v k ⃑ + u k ⃑

r u × r v = s e n v i ⃑ − c o s v k ⃑ + u k ⃑ = c o s 2 v + s e n 2 v + u 2 = u 2 + 1

Passo 3

Agora temos todas as informações necessárias para o cálculo da integral de superfície.

∬ y d S

Substituindo as equações paramétricas:

∬ u s e n v r u × r v d S = ∬ u s e n v u 2 + 1 d u d v

Como as variáveis de integração são independentes entre si podemos separá-las

∫ 0 1 u u 2 + 1 d u ∫ 0 π s e n v d v

Assim, pegando a primeira integral, temos:

∫ 0 1 u u 2 + 1 d u , em seguida, chamando w = u 2 + 1 → d w 2 = u d u

∫ 0 1 u u 2 + 1 d u = ∫ 1 2 w d w 2 = 2 3 w 3 2 1 2 = 2 3 2 3 2 − 1

A integral fica :

∫ 0 1 u u 2 + 1 d u ∫ 0 π s e n v d v = 2 3 2 3 2 − 1 ∫ 0 π s e n v d v = 2 3 2 3 2 − 1 2 = 2 3 2 2 − 1

O cálculo assusta as vezes né? Calma já já você pega a prática!

Resposta

∬ y d S = 2 3 2 2 − 1

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