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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

Calcule ∬ S 1 + x 2 + y 2 d S , sendo S a parte de uma superfície parametrizada por

r u , v = u cos ⁡ v i → + u sen ⁡ v j → + v k →

0 ≤ u ≤ 1

0 ≤ v ≤ π

Passo 1

Aqui é só fazer a integral de superfície mesmo, né? Vamos seguir o passo a passo certinho, como a curva já está parametrizada, precisamos encontrar as derivadas dela em relação aos parâmetros. Assim, olha

r u , v = u cos ⁡ v , u sen ⁡ v ,   v

∂ r ∂ u = cos ⁡ v , sen ⁡ v , 0

∂ r ∂ v = - u sen ⁡ v , u cos ⁡ v , 1

Com essas derivadas calculamos a normal da superfície

N → = ∂ r ∂ u × ∂ r ∂ v = i j k cos ⁡ v sen ⁡ v 0 - u sen ⁡ v u cos ⁡ v 1

N → = sen ⁡ v , - cos ⁡ v , u

Sabemos da relação que diz

d S = N → d u d v

Precisamos então do módulo dessa normal

N → = sen 2 ⁡ v + cos 2 ⁡ v + u 2

N → = 1 + u 2

d S = 1 + u 2 d u d v

Passo 2

Olhando pra integral agora, vamos substituir os parâmetros nessa função aí dentro

  ∬ S 1 + x 2 + y 2 d S

Onde

x = u cos ⁡ v

y = u sen ⁡ v

z = v

1 + x 2 + y 2 = 1 + u 2

Passo 3

Juntando tudo na integral

  ∬ S 1 + x 2 + y 2 d S = ∫ 0 π ∫ 0 1 1 + u 2 . 1 + u 2 d u d v

Esses limites foram os que o enunciado nos deu junto da parametrização da superfície, beleza?

= ∫ 0 π ∫ 0 1 1 + u 2 d u d v

Passo 4

Vamos começar integrando isso aí

∫ 0 π u + u 3 3 0 1 d v

= ∫ 0 π 1 + 1 3 d v

= 4 3 ∫ 0 π d v

Integrando em v

4 3 v 0 π

= 4 π 3

Resposta

4 π 3

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