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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

Determine a massa da superfície S dada por z = x 2 + y 2 + 2 x y limitada por x 2 + y 2 = 2 , sabendo que a densidade é dada por δ x , y , z = 2 x 2 + 3 y 2 1 + 8 z .

Passo 1

Para acharmos a massa, temos que fazer a integral de superfície da densidade, ou seja, vai ser uma parada assim

M = ∬ S δ x , y , z d S

Como temos z escrito bonitinho em função de x e y podemos parametrizar essa curva como

x = u

y = v

Precisamos achar o valor de z nessa bagunça, repara que temos

z = x 2 + y 2 + 2 x y

Então

z = u 2 + v 2 + 2 u v

Então teremos

σ u , v = u , v , u 2 + v 2 + 2 u v

Passo 2

Temos uma integral de superfície escalar, então precisamos achar a norma do vetor normal, primeiro vamos achar o vetor normal, ele vai ser

N u , v = ∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v

Vamos começar achando as derivadas da parametrização

∂ σ ∂ u = 1,0 , 2 u + 2 v

∂ σ ∂ θ = 0,1 , 2 u + 2 v

O vetor normal vai ser

N u , v = i j k 1 0 2 u + 2 v 0 1 2 u + 2 v

N u , v = 0 i + 0 j + 1 k - 0 k - 2 u + 2 v j - 2 u + 2 v i

N u , v = - 2 u + 2 v i - 2 u + 2 v j + 1 k

Passo 3

A norma vai ficar

N u , v = - 2 u + 2 v 2 + - 2 u + 2 v 2 + 1 2

N u , v = 4 u 2 + 8 u v + 4 v 2 + 4 u 2 + 8 u v + + 4 v 2 + 1

N u , v = 8 u 2 + 16 u v + 8 v 2 + 1

Passo 4

A integral vai ficar

M = ∬ S δ x , y , z d S = ∬ D δ σ u , v N u , v d u d v

Onde D é D = 0 < u 2 + v 2 < 2

Vamos ter

M = ∬ D 2 u 2 + 3 v 2 1 + 8 u 2 + v 2 + 2 u v 8 u 2 + 16 u v + 8 v 2 + 1 d u d v

M = ∬ D 2 u 2 + 3 v 2 1 + 8 u 2 + 8 v 2 + 16 u v 8 u 2 + 16 u v + 8 v 2 + 1 d u d v  

M = ∬ D 2 u 2 + 3 v 2 d u d v

Passo 5

Temos uma integral que a região D sai facin por coordenadas polares, então vamos fazer

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

J = r

Com r ∈ 0 , 2 e θ ∈ 0,2 π

Passo 6

A integral vai ficar

M = ∬ D 2 u 2 + 3 v 2 d u d v

M = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 2 r 2 cos 2 ⁡ θ + 3 r 2 sen 2 ⁡ θ ∙ r d r d θ

⇒ ∫ 0 2 π ∫ 0 2 2 r 3 cos 2 ⁡ θ + 3 r 3 sen 2 ⁡ θ d r d θ

⇒ ∫ 0 2 π 2 r 4 4 cos 2 ⁡ θ + 3 r 4 4 sen 2 ⁡ θ r = 0 2 d θ

⇒ ∫ 0 2 π 2 2 4 4 cos 2 ⁡ θ + 3 2 4 4 sen 2 ⁡ θ - 2 . 0 4 4 cos 2 ⁡ θ + 3 . 0 4 4 sen 2 ⁡ θ d θ

⇒ ∫ 0 2 π 2.4 4 cos 2 ⁡ θ + 3.4 4 sen 2 ⁡ θ d θ

⇒ ∫ 0 2 π 2 cos 2 ⁡ θ + 3 sen 2 ⁡ θ d θ

Lembrando que

sen 2 ⁡ θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2

E

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

Vamos ter

⇒ ∫ 0 2 π 2 1 + cos ⁡ 2 θ 2 + 3 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ

⇒ ∫ 0 2 π 2 2 + 2 2 cos ⁡ 2 θ + 3 2 - 3 2 cos ⁡ 2 θ d θ

⇒ ∫ 0 2 π 5 2 - 1 2 cos ⁡ 2 θ d θ

⇒ 5 2 θ - 1 2 sen ⁡ 2 θ 2 θ = 0 2 π

⇒ 5 2 2 π - 1 2 sen ⁡ 2.2 π 2 - 5 2 0 - 1 2 sen ⁡ 2.0 2

⇒ 5 π - 0 - 0

M = 5 π

Resposta

M = 5 π

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