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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 16 – Seção 7 – Questão 8

(Cap.16.7 - Exercício 8) Calcule a integral de superfície.

∬ x 2 + y 2 d S , S é a superfície com equação vetorial.

r u , v = ⟨ 2 u v , u ² − v ² , u ² + v ² ⟩ , u ² + v ² ⩽ 1

Passo 1

Bom pimpolhos, nesse tipo de questão normalmente vamos utilizar a fórmula da integral de superfície:

∬ S f x , y , z d S = ∬ D f r u , v r u × r v d A

Geralmente ao iniciar a resolução, o primeiro passo é a parametrização caso a questão não traga as equações nesse formato. Nesse caso, a questão já nos deu o r u , v , então basta encontrar os vetores r u e r v para conseguirmos aplicar esses dados na fórmula.

Passo 2

r u , v = ⟨ 2 u v , u ² − v ² , u ² + v ² ⟩ , u ² + v ² ⩽ 1

Podemos calcular as suas taxas de variação em relação a u e v.

Primeiro vamos calcular as derivadas parciais

r v = ∂ x ∂ v i ⃑ + ∂ y ∂ v j ⃑ + ∂ z ∂ v k ⃑ = ∂ 2 u v ∂ v i ⃑ + ∂ u 2 − v 2 ∂ v j ⃑ + ∂ u 2 + v 2 ∂ v k ⃑ = 2 u , − 2 v , 2 v

r u = ∂ x ∂ u i ⃑ + ∂ y ∂ u j ⃑ + ∂ z ∂ u k ⃑ = ∂ 2 u v ∂ u i ⃑ + ∂ u 2 − v 2 ∂ u j ⃑ + ∂ u 2 + v 2 ∂ u k ⃑ = 2 v , 2 u , 2 u

r u × r v = 2 u , − 2 v , 2 v × 2 v , 2 u , 2 u = i   j   k   2 v   2 u   2 u   2 u   − 2 v   2 v  

Passo 3

Agora vamos calcular o seguinte produto vetorial, afinal precisamos dele pra colocar na fórmula, beleza?

r u × r v = i 2 v 2 u + 2 u 2 v − j − 2 u 2 u + 2 v 2 v + k − 2 u 2 u + 2 v − 2 v

r u × r v = 8 u v i ^ + 4 u 2 − v 2 j ^ − 4 u 2 + v 2 k ^

E por fim, faremos o módulo do produto vetorial:

r u × r v = 8 u v 2 + 4 u 2 − v 2 2 + − 4 u 2 + v 2 2

r u × r v = 64 u 2 v 2 + 16 u 4 − 2 u 2 v 2 + v 2 + 16 u 4 + 2 u 2 v 2 + v 4

r u × r v = 32 u 4 + 64 u 2 v 2 + 32 v 4

r u × r v = 32 u 4 + 2 u 2 v 2 + v 4 = 4 2 u 2 + v 2 2

r u × r v = 4 2 u 2 + v 2

Passo 4

Agora temos todas as informações necessárias para o cálculo da integral de superfície.

∬ x 2 + y 2 d S

Substituindo as equações paramétricas

∬ 4 v 2 u 2 + u 4 − 2 u 2 v 2 + v 4 4 2 u 2 + v 2 d S = 4 2 ∬ u 4 + 2 u 2 v 2 + v 4 u 2 + v 2 d S

Então, é possível reparametrizar utilizando as coordenadas polares para facilitar os cálculos:

u = r c o s θ e v = r s e n θ

Agora, nossa integral ficará:

4 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 4 r 4 c o s ² θ s i n ² θ + r ² c o s ² θ − r ² s e n ² θ ² r 3 d r d θ

Logo, usaremos algumas relações trigonométricas para simplificar:

4 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 4 2 c o s θ s e n θ ² + r 4 c o s ² 2 θ r 3 d r d θ

4 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 4 s e n ² 2 θ + r 4 c o s ² 2 θ r 3 d r d θ

4 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 7 d r d θ = π 2

E aí, pessoal? Vamos pra mais?

A prática é fundamental!

Resposta

π 2

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