Considere o cone z 2 = x 2 + y 2 .

a) Calcule a área da parte da superfície z 2 = x 2 + y 2 que se encontra no primeiro octante (ou seja, x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0 ) e abaixo do plano z = 2 .

Passo 1

Faaaala! Podemos calcular a área de uma superfície calculando essa integral

A = ∫ ∫ D f x 2 + f y 2 + 1 d A

Onde f x , y é a função que tem nossa superfície como gráfico. Repara que nossa superfície é

z 2 = x 2 + y 2 ∴ z = ± x 2 + y 2

Mas como a gente só está em z ≥ 0 , a gente pode dizer que nossa superfície tem a equação

z = x 2 + y 2

E essa pode então ser nossa função

z = f x , y = x 2 + y 2

Passo 2

Calculando as derivadas parciais dela

f x = 2 x 2 x 2 + y 2 = x x 2 + y 2

f y = 2 y 2 x 2 + y 2 = y x 2 + y 2

Substituindo na integral

A = ∫ ∫ D f x 2 + f y 2 + 1 d A

f x 2 + f y 2 + 1 = x x 2 + y 2 2 + y x 2 + y 2 2 + 1

f x 2 + f y 2 + 1 = x 2 x 2 + y 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1

f x 2 + f y 2 + 1 = x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 = 1 + 1 = 2

A = ∫ ∫ D 2 d A

Passo 3

Ih mas quem é D ? Cara, esse é o domínio da nossa função no espaço que ele deu. Como temos uma f x , y , queremos um domínio como região do plano x y .

Estamos no primeiro octante, daí já temos que

x ≥ 0 ,     y ≥ 0

Ele disse também que nossa superfície está limitada por cima pelo plano z = 2 . Mas lembra que nossa superfície é

z = f x , y = x 2 + y 2

Ela é dada por f x , y , né? Então z = 2 limita f x , y por cima, aí a gente pode dizer que

f x , y ≤ 2

x 2 + y 2 ≤ 2 ∴ x 2 + y 2 ≤ 2 2

E isso diz para gente que temos uma região dentro de x 2 + y 2 = 2 2 , uma circunferência de raio 2 .

Por que? Percebe que o ponto 0,0 satisfaz essa inequação, e ele está dentro da circunferência. Então realmente a gente tá olhando para essa região interior.

Vamos esboçar a região de x y que está dentro dessa circunferência e em x ≥ 0 e y ≥ 0 .

Essa região rosinha vai ser nosso domínio!

Passo 4

Agora é calcular a integral

A = ∫ ∫ D 2 d A = 2 ∫ ∫ D 1 d A

Pensa comigo: integral dupla sobre D   com integrando 1 é o mesmo que a área de D . Então a gente vai escrever:

A = 2 á r e a   d e   D

Mas quem é D ? Lembra que era um quarto do círculo de raio 2 ? Vou te mostrar ele de novo oh:

A gente pode calcular a área dele pela fórmulinha de calcular a área de um círculo:

A c í r c u l o = π r 2

Mas a gente quer só um quarto dessa área e r = 2 :

á r e a   d e   D = 1 4 π 2 2 = π

Aí nossa área da superfície fica

A = 2 π

A = 2 π

Prontinho! Arrasamos!

Resposta

A = 2 π

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 y z d S , S é a parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y Que está acima do retângulo 0,3 × 0,2 .
Determine a área da superfície.A parte do cone z = x 2 + y 2 que se encontra entre o plano y = x e o cilindro y = x 2 .
Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de um a integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z =
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Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 + y 2 d S , S é a superfície com equação vetorial. r u , v =2 u v , u 2 - v 2, u 2 + v 2, u 2 + v 2 ≤ 1