UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 3, AV3 - 2023.1, Questão 10
Sobre os números complexos é correto afirmar:
- Se e então
- É um conjunto comutativo com relação à adição e à multiplicação.
- Todo numero complexo possui um inverso
- Todo numero complexo possui pelo menos uma raiz quadrada
- Todo número complexo possui um conjugado
Passo 1
Vamos analisar cada afirmação:
1. Se e a, então :
Isso não é verdade. A magnitude de um número complexo não está diretamente relacionada à sua comparação na forma de números complexos. A magnitude e o argumento de um número complexo são características distintas e não determinam a relação de ordem entre dois números complexos.
2. É um conjunto comutativo com relação à adição e à multiplicação:
Isso é verdade. Os números complexos formam um conjunto comutativo em relação tanto à adição quanto à multiplicação. Isso significa que a ordem em que os números são somados ou multiplicados não afeta o resultado final.
Passo 2
3. Todo número complexo possui um inverso:
Isso é verdade. Com exceção de 0, todo número complexo possui um inverso multiplicativo. Para um número complexo , o inverso multiplicativo é dado por .
4. Todo número complexo possui pelo menos uma raiz quadrada:
Isso é verdade. Todo número complexo, incluindo 0, possui pelo menos duas raízes quadradas complexas. Dado um número complexo , suas raízes quadradas são dadas por
, onde indica a escolha de sinal.
Passo 3
5. Todo número complexo possui um conjugado:
Isso é verdade. O conjugado de um número complexo é dado por
. O conjugado mantém a parte real do número complexo e troca o sinal da parte imaginária.
Resposta
Portanto, as afirmações corretas são 2, 3, 4 e 5.