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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

Integrais de superfície – caso escalar

Calcule a integral de superfície

∬ S   x 2 z d S

Sobre cilindro S = x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 = 1,0 ≤ z ≤ 1 .

(Dica: cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2 )

Passo 1

Bem, vamos começar parametrizando essa superfície. Como se trata de um cilindro, vamos usar coordenadas cilíndricas com r = 1 :

x = cos ⁡ θ

y = s e n   θ

z = z

Isso nos dá a parametrização

φ θ , z = cos ⁡ θ ,   s e n   θ , z

Como o enunciado diz, 0 ≤ z ≤ 1 . Como temos uma volta completa em torno do eixo z , 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Passo 2

Agora, vamos calcular a normal a S :

∂ φ ∂ θ = - s e n   θ , cos ⁡ θ , 0

∂ φ ∂ z = 0,0 , 1

∂ φ ∂ θ × ∂ φ ∂ z = i j k - s e n   θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 = cos ⁡ θ , s e n   θ , 0

Passo 3

A normal fica

∂ φ ∂ θ × ∂ φ ∂ z = cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = 1

Passo 4

Ok, agora vamos aplicar a fórmula:

∬ S   f ( x , y , z ) d S = ∬ D   f ( φ ) ∂ φ ∂ θ × ∂ φ ∂ z d θ d z

Levando os dados do problema, temos:

∬ S   f ( x , y , z ) d S = ∬ D   cos 2 ⁡ θ z . 1 d θ d z

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 z cos 2 ⁡ θ d z d θ =

Passo 5

Agora vamos integrar isso ai

= ∫ 0 2 π z 2 2 c o s 2 θ 0 1 d θ =

= 1 2 ∫ 0 2 π c o s 2 θ d θ =

Agora vamos usar a dica do problema: cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2 .

= 1 4 ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ 2 θ d θ =

= 1 4 θ + 1 2 s e n   2 θ 0 2 π =

= 1 4 2 π = π 2

Resposta

π 2

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