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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 16 – Seção 7 – Questão 20

(Cap. 16.7 – Exercício 20) Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S x 2 + y 2 + z 2 d S

S é a parte do cilindro y 2 + z 2 = 9 entre os planos z = 0 e z = 2 , juntamente com os discos inferior e superior.

Passo 1

Hellooo, cadê a animação? rs

Bom, concentra aqui. Essa questão deseja saber a integral de uma superfície. Como no enunciado diz que a superfície faz parte do cone, logo uma boa forma de resolver o problema é dividir essa superfície em partes menores. Onde a integração total será a soma das integrais das partes.

Vale lembrar também da fórmula de integrar uma superfície:

∬ S f x , y , z d S = ∬ D f r u , v r u × r v d A

Passo 2

Galera, nesse caso, S será composta de três superfícies. Vamos chamar de S 1 a superfície lateral do cilindro. Nesse caso, teremos:

r θ , z = 3 c o s θ i + 3 s e n θ j + z k , 0 ≤ θ ≤ 2 π , 0 ≤ z ≤ 2

r θ × r z = 3

Então,

∫ ∫ S 1 x 2 + y 2 + z 2 d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 9 + z 2 3 d z d θ = 3 2 π 9 z + z 3 3 0 2 = 6 π 18 + 8 3 = 124 π

Passo 3

Agora vamos considerar a superfície S 2 , o disco do topo:

r θ , r = r c o s θ i + r s e n θ j + 2 k , 0 ≤ r ≤ 3,0 ≤ θ ≤ 2 π

r θ × r r = r

Então,

∫ ∫ S 2 x 2 + y 2 + z 2 d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 r 2 + 4 r d r d θ = 2 π r 4 4 + 2 r 2 0 3 = 2 π 81 4 + 18 = 153 2 π

Passo 4

Por último, vamos considerar a superfície S 2 , o disco do fundo:

r θ , r = r c o s θ i + r s e n θ j + 0 k , 0 ≤ r ≤ 3,0 ≤ θ ≤ 2 π

r θ × r r = r

Então,

∫ ∫ S 3 x 2 + y 2 + z 2 d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 r 2 + 0 r d r d θ = 2 π r 4 4 0 3 = 2 π 81 4 = 81 2 π

Passo 5

Finalmente, podemos calcular a integral que queremos:

∫ ∫ S x 2 + y 2 + z 2 d S = ∫ ∫ S 1 x 2 + y 2 + z 2 d S + ∫ ∫ S 2 x 2 + y 2 + z 2 d S + ∫ ∫ S 3 x 2 + y 2 + z 2 d S = 124 π + 153 2 π + 81 2 π = 241 π

Gostou?!

Pois pegue o embalo e bora fazer mais.

Resposta

241 π

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