Seja a esfera de equação com densidade superficial . A massa de é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Cara, para calcular a massa de uma superfície assim, a gente vai precisa montar uma integral de superfície escalar. E aí é usar um mesmo passo a passo, que dá bom toda vez. Vem comigo!
Primeira coisa é parametrizar a superfície. Ele disse que a superfície é uma esfera de raio centrada em . (vemos isso pela equação)
Como a gente quer a esfera completa, é uma boa a gente parametrizar a superfície usando um pouco de coordenadas esféricas. Fica assim:
Ihhh, mas espera, a gente só pode ter dois parâmetros na parametrização de superfícies. E ali na função temos 3 variáveis. O que falta? Falta colocar o raio da nossa esfera que vale . Agora sim nossa parametrização certinha, só com duas variáveis.
Considerando que a esfera está completa, nosso domínio fica os intervalos máximos desses dois parâmetros de coordenadas esféricas:
Passo 2
Depois a gente precisa calcular nosso vetor normal.
E como a integral é escalar, a gente precisa tirar o módulo desse cara:
Passo 3
Para que fizemos tudo isso? Cara, para montar nossa integral de superfície escalar e achar a massa:
Para a gente:
Na nossa parametrização:
Então . Vamos substituir na nossa função:
E o domínio é o domínio da parametrização:
Aí a integral fica:
Passo 4
Calculando essa belezura:
Vamos calcular essa integral de dentro:
Lembrando que :
Aí fazendo uma substituição simples , achando a primitiva e substituindo os extremos de integração, achamos:
E a integral de fora fica:
Aí a gente lembra daquela identidade que diz:
Aí fazendo uma substituição simples , achando a primitiva e substituindo os extremos de integração, achamos:
Resposta
Letra c