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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 16 – Seção 7 – Questão 5

(Cap. 16.7 - Exercício 5) Calcule a integral de superfície.

∬ x + y + z d S , S é o paralelogramo com equações paramétricas x = u + v , y = u − v , z = 1 + 2 u , 0 ≤ u ≤ 2,0 ≤ v ≤ 1 .

Passo 1

Olá, pessoal! Vamos dar uma clareada nas ideias.

A questão deseja saber o valor de uma integral de superfície, o próprio comando já nos informa que essa superfície necessita de 3 variáveis(x, y e z). E além disso, nos informa as equações paramétricas, ou seja, caso essas equações não estivessem dispostas dessa forma seria necessário uma parametrização.

Para calcular uma integral de superfície usamos a fórmula:

∬ S f x , y , z d S = ∬ D f r u , v r u × r v d A

Passo 2

Bom, seguindo…

Do enunciado temos r u , v = u + v i ⃑ + u − v j ⃑ + 1 + 2 u + v k ⃑ e 0 ≤ u ≤ 2,0 ≤ v ≤ 1

Escrever r assim é importante para calcularmos r u e r v

r v = ∂ x ∂ v i ⃑ + ∂ y ∂ v j ⃑ + ∂ z ∂ v k ⃑ = ∂ u + v ∂ v i ⃑ + ∂ u − v ∂ v j ⃑ + ∂ 1 + 2 u + v ∂ v k ⃑ = i ⃑ − j ⃑ + k ⃑

r u = ∂ u + v ∂ u i ⃑ + ∂ u − v ∂ u j ⃑ + ∂ 1 + 2 u + v ∂ u k ⃑ = i ⃑ + j ⃑ + 2 k ⃑

Como na nossa fórmula precisamos do módulo do produto vetorial, vamos atrás dele:

r u × r v = i ⃑ + j ⃑ + 2 k ⃑ × i ⃑ − j ⃑ + k ⃑ = 3 i ⃑ + j ⃑ − 2 k ⃑

r u × r v = 3 i ⃑ + j ⃑ − 2 k ⃑ = 14

Passo 3

Agora temos todas as informações necessárias para o cálculo da integral de superfície.

∬ x + y + z d S

Substituindo as equações paramétricas:

∬ 4 u + v + 1 r u × r v d S ∬ 4 u + v + 1 14 d S = 14 ∫ 0 1 ∫ 0 2 4 u + v + 1 d u d v

14 ⋅ ∫ 0 2 4 u + v + 1 d u = 14 ⋅ ∫ 0 1 2 v + 10 d v = 14 ⋅ 11

Tudo bem glr?

Pois cuida, vamos fazer maisssss

Resposta

∬ x + y + z d S = 11 14

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