Integrais de superfície – caso escalar
Calcule a massa da superfície onde , com densidade pontual de massa .
Passo 1
Vamos, antes de tudo, desenhar essa superfície para termos uma ideia melhor do problema. Temos um cilindro de raio com simetria em e com variando desde até .
O problema nos pede a massa dessa superfíce, sendo que nos foi dada a densidade pontual de carga . Sendo o diferencial de àrea e o de massa, podemos dizer isso aqui:
Certo? Integrando dos dois lados ao longo da superfície , temos o seguinte:
Passo 2
Agora precisamos parametrizar a superfície. Como se trata de um cilindro, vamos usar coordenadas cilíndricas: , e . Como o raio do cilindro é , temos :
Como temos uma volta completa em volta do eixo , . Como o próprio enunciado disse, temos .
Passo 3
Calcular e
Passo 4
Calcular
Passo 5
Agora vamos montar a integral
Precisamos escrever
Em função das variáveis da parametrização
Usando essas definições da parametrização para as variáveis , e , temos o seguinte:
Não muda nada, né? Beleza, então podemos monta a integral:
Esses intervalos são os que encontramos quando parametrizamos a superfície.
Passo 6
Resolver a integral
Agora para integrar aqui vamos fazer