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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 16 – Seção 7 – Questão 16

(Cap. 16.7- Exercício 16) Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S y 2 d S

S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 e acima do plano x y .

Passo 1

Galera, nesse caso podemos olhar z como uma função de x e y , pois

x 2 + y 2 + z 2 = 4 ⇒ z = ± 4 − x 2 − y 2

Porém, como a superfície está acima do plano x y , temos z ≥ 0 e podemos considerar somente a solução positiva:

z x , y = 4 − x 2 − y 2

Então, podemos escrever a integral assim:

∫ ∫ S y 2 d S = ∫ ∫ D y 2 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Essa integral é utilizada porque agora estamos projetando a superfície S em um dos planos y z ou x z , e utilizaremos ela justamente porque é possível expressar o z como sendo uma função de x e y .

Assim,

∫ ∫ S y 2 d S = ∫ ∫ D y 2 1 + − x 4 − x 2 − y 2 2 + − y 4 − x 2 − y 2 2 d A

∫ ∫ S y 2 d S = ∫ ∫ D y 2 4 − x 2 − y 2 + x 2 + y 2 4 − x 2 − y 2 d A = ∫ ∫ D y 2 2 4 − x 2 − y 2 d A

onde D é o disco x 2 + y 2 ≤ 1

Passo 2

Show! Agora vamos usar coordenadas polares para tentar resolver a integral:

∫ ∫ D y 2 2 4 − x 2 − y 2 d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r s e n θ 2 2 4 − r 2 r d r d θ

∫ 0 2 π 2 s e n 2 θ d θ ∫ 0 1 r 2 r 4 − r 2 d r

Agora o bicho pega na hora de fazer essa integralzinha em r rsrs

Passo 3

Vamos focar nela rapidinho

∫ 0 1 r 2 r d r 4 − r 2

Pra sumir com essa raiz, vamos usar a seguinte substituição

u = 4 − r 2 → r 2 = 4 − u

De forma que os nossos limites de integração serão:

r = 0 → u = 4

r = 1 → u = 3

E o diferencial de u será:

d u = − 2 r d r → r d r = − d u 2

Então a nossa integralzinha vira:

∫ 0 1 r 2 r d r 4 − r 2 = ∫ 4 3 4 − u − d u 2 u 1 2 = ∫ 4 3 u 1 2 2 − 2 u − 1 2 d u

∫ 0 1 r 2 r d r 4 − r 2 = 2 3 u 3 2 2 − 2 ⋅ 2 u 1 2 4 3 = 1 3 3 3 − 4 4 − 4 3 − 4

(lembrando que u 3 2 = u u )

∫ 0 1 r 2 r d r 4 − r 2 = 3 − 8 3 − 4 3 + 8 = 16 3 − 3 3

Passo 4

Já a integral angular fica:

∫ 0 2 π 2 s e n 2 θ d θ = θ − s e n 2 θ 2 0 2 π = 2 π

Juntando isso tudo ficamos com:

∫ 0 1 r 2 r d r 4 − r 2 = 2 π 16 3 − 3 3

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Resposta

2 π 16 3 − 3 3

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