Integrai de superfície – caso escalar
Seja a superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo . Seja , onde , uma parametrização de . Considere a função escalar .
- Calcule
- Encontre a equação do plano tangente que passa pelo ponto correspondente a
- Calcule
Passo 1
Letra a)
Temos:
Agora vamos fazer o produto vetorial:
Passo 2
Letra b)
Bom, para encontrar a equação de um plano precisamos de um vetor e um ponto, e nós temos:
E o ponto corresponde a
Na parametrização
Portanto:
Agora vamos ver se a superfície é lisa no ponto , ou seja, se :
Beleza. Como esse vetor é normal ao plano que queremos, sabemos que a equação do plano é a seguinte:
Como o ponto pertence ao plano, podemos substituí-lo na equação para encontrar :
Então a equação que queremos é
Passo 3
Letra c)
Vamos usar essa fórmula aqui para calcular a integral de superfície escalar:
Como a superfície já está parametrizada, basta escrever o campo
Nas variáveis da parametrização
E calcular
Show, agora levando para a integral:
Onde é definido por e .