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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Exercícios de Cálculo 3 - Profº Cilon Perusato - Lista 3, Questão 6a

Questão 6. Calcule as seguintes integrais de superfícies.

(a) ∬ S x 2 y z d S , S é a parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y que está abaixo do retângulo 0,3 × 0,2 ;

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nosso objetivo nesse problema é obter a integral de superfície dada por ∬ S x 2 y z d S onde S é a parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y que está abaixo do retângulo 0,3 × 0,2 .

Tem ideia do que fazer? 😐

Nesses casos, podemos usar uma regrinha que diz

∬ S f x , y , z d S = ∬ A f x , y , g x , y · N → d A

Onde N → é o vetor normal de z = 1 + 2 x + 3 y

N → = ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1

E aí, melhorou? 🤔

Passo 2

No caso, f x , y , z = x 2 y z e g x , y = 1 + 2 x + 3 y

Dessa forma, vamos obter que f x , y , g x , y será dado por

f x , y , g x , y = x 2 y 1 + 2 x + 3 y

f x , y , g x , y = x 2 y + 2 x 3 y + 3 x 2 y 2

Calculando o módulo vetor normal N → , temos

N → = ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1

∂ z ∂ x = ∂ 1 + 2 x + 3 y ∂ x = 2

∂ z ∂ y = ∂ 1 + 2 x + 3 y ∂ y = 3

Ou seja

N → = 2 2 + 3 2 + 1 = 14

Substituindo na integral...

∬ S f x , y , z d S = ∬ A f x , y , g x , y · N → d A

∬ S f x , y , z d S = ∬ A x 2 y + 2 x 3 y + 3 x 2 y 2 · 14 d A

Podemos definir d A a partir da informação de que nossa superfície de interesse está entre 0,3 × 0,2 , ou seja, x variando de 0 a 3 e y de 0 a 2 .

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Definindo os limites de integração, temos

∬ S f x , y , z d S = ∫ 0 2 ∫ 0 3 x 2 y + 2 x 3 y + 3 x 2 y 2 · 14 d x d y

∬ S f x , y , z d S = 14 ∫ 0 2 ∫ 0 3 x 2 y + 2 x 3 y + 3 x 2 y 2 d x d y

Integrando com relação a x , temos

∫ x 2 y + 2 x 3 y + 3 x 2 y 2 d x = x 3 3 y + 2 x 4 4 y + 3 x 3 3 y 2 = x 3 3 y + x 4 2 y + x 3 y 2

Aplicando os limites de integração

∫ 0 3 x 2 y + 2 x 3 y + 3 x 2 y 2 d x = 3 3 3 y + 3 4 2 y + 3 3 y 2 - 0 = 9 y + 81 2 y + 27 y 2

∫ 0 2 x 2 y + 2 x 3 y + 3 x 2 y 2 d x = 99 2 y + 27 y 2

Integrando o resultado em função de y

∫ 99 2 y + 27 y 2 d y = 99 2 y 2 2 + 27 y 3 3 = 99 4 y 2 + 9 y 3

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 99 2 y + 27 y 2 d y = 99 4 2 2 + 9 2 3 - 0 = 99 + 72

∫ 0 2 99 2 y + 27 y 2 d y = 171

Substituindo na integral

∬ S f x , y , z d S = 14 ∫ 0 2 ∫ 0 3 x 2 y + 2 x 3 y + 3 x 2 y 2 d x d y

∬ S f x , y , z d S = 171 14

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∬ S f x , y , z d S = 171 14

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