UTFPR. Calculo Avançado. Lista 2 de Exercícios - Cálculo Vetorial. AV1. Questão 1a.
1. Calcule a integral de superfície:
a) , é a parte do plano que está no primeiro octante.
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nessa questão temos uma integral de superfície! No caso a integral é
E é o plano que está contido no primeiro octante, ou seja, com , e positivos.
Ta sabendo como podemos calcular essa integral?? 🤔
Observando a integral, vemos que temos um caso escalar de integral de superfície, dessa forma o que temos que fazer é parametrizar a superfície passando de três para duas variáveis.
Depois disso derivamos o vetor paramétrico e calculamos o seu módulo para encontrar um vetor normal a .
Por fim, substituímos as variáveis da função de integração para a parametrização que fizemos e multiplicamos a nova função de integração com o modulo do vetor normal a .
Entendeu? Vamos ver na pratica que vai ficar mais fácil! 😁
Passo 2
A superfície é dada por e temos que escolher duas variáveis para receber a troca de coordenadas, como nossa função é dada por , podemos escolher e para serem e , respectivamente.
Essa escolha vai facilitar no calculo da integral mais tarde.
Escrevendo em função de e , temos
E como e , será
Dessa forma, nosso vetor paramétrico de será
Derivando com relação a , temos
Agora derivamos com relação a
Fizemos essa derivada pra obter o vetor normal a , esse vetor é justamente o produto vetorial entre esses vetores.
Calculando esse determinante, vamos obter
Com que é normal a é dado por
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Precisamos calcular o módulo desse vetor agora, ou seja . Como o modulo de um vetor é dado pela raiz da soma do quadrado de suas coordenadas, temos que
Agora temos que inserir os valores da parametrização na nossa função de integração
Até agora, com as informações que obtemos, a integral é dada por
Estamos quase conseguindo todos os valores que precisamos, mas falta obter os limites de integração de e .
Pra obter esses valores, vamos investigar os limites da nossa superfície . Foi dito que ela está contida no primeiro octante, ou seja, apenas nos valores de , e maiores que .
No início, definimos que , como e só podem assumir valores positivos, o máximo valor para é e o mínimo para e é .
Isolando na mesma equação, vamos obter , pela mesma ideia anterior, o maior valor que pode assumir é .
Agora fazendo o mesmo para , temos e novamente o maior valor que pode assumir é !
Com isso, temos que , e variam entre e .
Como é igual a e é igual a , correto? e também variam entre e!
Entendeu essa parte? 😎
Passo 4
Por fim, a nossa integral com os limites de integração aplicados, é
Integrando com relação a pelo método da integração polinomial, temos
Aplicando os limites de integração
Agora integramos o resultado com relação a pelo mesmo método de integração anterior.
Aplicando os limites de integração, temos
Com isso, obtemos que a integral de superfície resulta em
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
