Terceira prova - Professor L9 Alessandra - Cálculo 3
Calcule a integral de superfície
é a parte do plano que está no primeiro octante.
Passo 1
Olá, vamos resolver essa atividade de integral de superfície.
Hoje queremos encontrar a integral:
Em que é a parte do plano que está no primeiro octante. Para fazermos isso iremos parametrizar de forma a trabalharmos apenas com duas variáveis.
Também precisaremos satisfazer as condições de estarmos apenas no primeiro octante. A integral de superfície é escrita da seguinte forma:
Onde é a projeção de no plano . E é o modulo do vetor normal a superfície. é a nossa função parametrizada.
O vetor é encontrado a partir da nossa parametrização:
Passo 2
Primeiro vamos parametrizar a nossa superfície, como é parte do plano , podemos isolar uma das variáveis em função das outras duas. Isolando , temos:
Agora, podemos parametrizar a superfície usando as variáveis e como parâmetros:
Como está no primeiro octante, as variáveis e devem satisfazer as seguintes condições:
E
Passo 3
Vamos agora encontrar o vetor normal à superfície:
Realizando então o produto vetorial:
Agora iremos substituir a parametrização na função que iremos integrar. Temos que . Substituindo a parametrização, ficamos com:
Passo 4
Agora é calcular a integral dupla:
Onde é a projeção de no plano . No caso, é o triangulo delimitado pelas retas , e .
Logo, a nossa integral de superfície fica:
Os limites de integração para são . E os limites para .
Calculando a integral interna:
Substituindo os limites de integração:
Simplificando a expressão:
Agora vamos para a última integral:
Realizando a integração:
Temos que:
Temos então que: